"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Параллельные отрезки помогают получать пространственные фигуры из плоских фигур и их копий. При параллельном перемещении отрезок сохраняет длину и направление, а его положения образуют боковую поверхность. Так строятся призмы, параллелепипеды и цилиндры. Форма основания определяет вид фигуры, длина отрезков — её высоту, а перпендикулярность отрезков основанию указывает на прямую фигуру.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых и не пересекающиеся. Их можно представить как несколько одинаково направленных отрезков, расположенных на разных местах. Это понятие нужно, чтобы описывать рёбра и образующие пространственных фигур.
Параллельное перемещение — перенос фигуры на одинаковое расстояние в одном направлении, при котором её форма и размеры сохраняются. Например, треугольник можно передвинуть вправо, не поворачивая и не растягивая его. Так получают равную копию основания для построения призмы.
Образующая — отрезок, параллельные положения которого образуют боковую поверхность пространственной фигуры. У призмы похожую роль выполняют боковые рёбра, а у цилиндра образующие соединяют два круга. По образующим можно понять направление и высоту фигуры.
Призма — многогранник с двумя равными параллельными многоугольниками-основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. Основания называют соответствующими, если их вершины соединяются параллельными равными отрезками. Вид призмы определяется формой многоугольника в основании.
Если отрезок перемещать параллельно самому себе, все его положения будут иметь одинаковую длину и одно направление. Причина в том, что при переносе каждая точка отрезка проходит один и тот же путь, поэтому расстояние между его концами не меняется. Совокупность таких положений можно представить как набор параллельных отрезков.
Соответствующие концы параллельных отрезков соединяются отрезками, которые идут вдоль направления перемещения. Например, все первые концы образуют один край, а все вторые — другой. Четыре отрезка: два исходных положения и два соединяющих их отрезка — образуют параллелограмм, потому что его противоположные стороны параллельны.
Пусть исходным объектом является многоугольник. Если переместить его параллельно и соединить каждую вершину с соответствующей вершиной копии, получится пространственная фигура с двумя равными параллельными основаниями. Боковые грани будут параллелограммами, поскольку их стороны попарно параллельны. Такая фигура называется призмой.
Форма исходного многоугольника определяет вид призмы: из треугольника получается треугольная призма, из пятиугольника — пятиугольная. Если основание является параллелограммом, призма называется параллелепипедом. Число вершин и боковых граней связано с числом вершин основания.
Круг нельзя описать конечным числом сторон, поэтому при перемещении круга возникает не многогранник, а цилиндрическая поверхность. Каждая точка одного круга соответствует точке другого круга, находящейся в том же направлении перемещения. Отрезки, соединяющие такие соответствующие точки, являются образующими цилиндра.
Длина параллельных отрезков показывает расстояние между соответствующими основаниями в направлении перемещения. Поэтому она определяет высоту фигуры, если высоту измеряют вдоль этих отрезков. Когда отрезки перпендикулярны плоскости основания, боковые рёбра призмы или образующие цилиндра перпендикулярны основанию, и фигура называется прямой.
В таблице сравниваются фигуры, полученные из двух равных параллельных оснований. Сначала найдите форму основания, затем посмотрите, как соединены соответствующие точки. Последняя строка показывает, какие отрезки задают высоту фигуры.
| Свойство | Призма | Параллелепипед | Цилиндр |
|---|---|---|---|
| Исходные основания | Равные параллельные многоугольники | Равные параллельные параллелограммы | Равные параллельные круги |
| Форма образующих отрезков | Равные параллельные отрезки | Равные параллельные отрезки | Параллельные отрезки, соединяющие соответствующие точки кругов |
| Боковая поверхность | Параллелограммы | Прямоугольники или параллелограммы | Цилиндрическая поверхность |
| Что определяет высоту | Длина боковых отрезков | Длина боковых рёбер | Длина образующей |
Задача 1. Дан треугольник ABC и направление отрезка AA'. Постройте точки B' и C' так, чтобы AA', BB' и CC' были равными параллельными отрезками. Назовите полученную фигуру. Нужно перенести каждый угол треугольника одинаково, поэтому новые точки должны быть образами соответствующих вершин.
Ответ: получена треугольная призма ABCA'B'C'.
Задача 2. Из пятиугольника ABCDE получена призма ABCDEA'B'C'D'E'. Определите число оснований, боковых граней, вершин и рёбер. Пятиугольник имеет пять вершин, поэтому у его параллельной копии будет столько же соответствующих элементов.
Ответ: 2 основания, 5 боковых граней, 10 вершин и 15 рёбер.
Задача 3. Даны два равных параллельных круга и равные параллельные отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей. Определите фигуру и назовите её образующие. Круги являются основаниями, а соединяющие их отрезки заполняют боковую поверхность между основаниями.
Ответ: получен цилиндр, а отрезки, соединяющие соответствующие точки кругов, являются его образующими.
Считать параллельными любые непересекающиеся отрезки — ошибка. В пространстве отрезки могут быть скрещивающимися: они не пересекаются, но лежат на непараллельных прямых. Проверьте, можно ли поместить их в одну плоскость и имеют ли их прямые одно направление.
Соединять не соответствующие точки оснований нельзя, потому что боковые грани перестанут быть параллелограммами. Такая фигура будет искажённой, хотя внешне может напоминать призму. Проверьте, что каждой вершине или точке первого основания соответствует её образ после одного и того же переноса.
Иногда забывают, что при параллельном перемещении длина и направление отрезка сохраняются. Из-за этого новые отрезки делают разной длины или поворачивают. Сравните каждый построенный отрезок с исходным: они должны быть равными и параллельными.
Не всякая фигура с параллельными отрезками является призмой. Для призмы обязательно нужны два равных параллельных многоугольника-основания, а боковые грани должны быть параллелограммами. Сначала найдите основания, а уже затем проверяйте боковые отрезки.
Для этой темы нужны знания о параллельных и перпендикулярных прямых, многоугольниках, кругах и параллелограммах. Они помогают распознавать основания и доказывать свойства боковых граней. Дальше эти представления пригодятся при изучении элементов призм и цилиндров, их развёрток, площадей поверхностей и объёмов. Параллельные отрезки также используют при построении сечений и изображении пространственных фигур.
Чем параллельные отрезки отличаются от скрещивающихся?
Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых, поэтому имеют одно направление и не пересекаются. Скрещивающиеся отрезки находятся в разных плоскостях и не пересекаются, но их прямые не являются параллельными.
Почему при построении призмы нужно соединять именно соответствующие вершины оснований?
Соответствующие вершины получаются друг из друга одним и тем же параллельным перемещением. Поэтому соединяющие их отрезки равны и параллельны, а боковые грани становятся параллелограммами.
Можно ли получить цилиндр из конечного числа отрезков?
Полная поверхность цилиндра состоит из бесконечного множества образующих, соединяющих соответствующие точки кругов. Конечным числом отрезков можно лишь приблизительно изобразить цилиндр или получить многогранник.
Что называют образующей пространственной фигуры?
Образующая — это отрезок, параллельные положения которого образуют боковую поверхность фигуры. Например, у цилиндра образующие соединяют соответствующие точки двух кругов.
Как по направлению отрезков определить, является ли призма или цилиндр прямыми?
Если образующие или боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, фигура является прямой. Если такого перпендикулярного направления нет, фигура может быть наклонной.
9.4. Получение пространственных фигур из параллельных отрезков
