"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Пространственные фигуры можно получать из равных плоских фигур, расположенных определённым образом. Два равных многоугольника в параллельных плоскостях, соединённые соответствующими сторонами и вершинами, образуют призму. Из квадратов получается куб, из прямоугольников — прямоугольный параллелепипед. Два равных параллельных круга образуют цилиндр. Форма исходных фигур помогает определить вид полученного тела.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Призма — пространственная фигура, или многогранник, с двумя равными параллельными многоугольниками-основаниями и боковыми гранями. Многогранник состоит из плоских многоугольников. Это определение помогает отличить призму от других тел по форме оснований и их расположению.
Основание призмы — одна из двух равных параллельных плоских фигур, определяющих форму призмы. Основания могут быть треугольниками, прямоугольниками, пятиугольниками и другими многоугольниками. По ним обычно называют призму: например, треугольная призма имеет треугольники в основаниях.
Боковая грань — плоская фигура, соединяющая соответствующие стороны оснований призмы. У призмы боковые грани чаще всего являются параллелограммами, а при прямом расположении оснований — прямоугольниками. Они образуют поверхность между двумя основаниями.
Цилиндр — пространственная фигура, полученная соединением двух равных параллельных кругов. Круги являются его основаниями, а соединяющая их боковая поверхность не плоская, а искривлённая. Поэтому цилиндр не является многогранником.
Представим несколько одинаковых многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях. Если один многоугольник можно мысленно сдвинуть к другому без поворота и изменения размера, их вершины и стороны имеют соответствия. Такое расположение создаёт два одинаковых «края» будущего тела, между которыми можно построить боковую поверхность.
Соответствующие вершины соединяют отрезками, потому что каждая вершина одного основания должна быть связана с одной определённой вершиной другого. Соответствующие стороны также соединяют, и между двумя сторонами появляется боковая грань. Если соединить элементы не по соответствию, грани могут пересечься или фигура получится перекрученной.
Куб получают из равных квадратов: два квадрата могут служить основаниями, а ещё четыре квадрата закрывают боковую поверхность. У прямоугольного параллелепипеда основания и боковые грани являются прямоугольниками. Его форма зависит от длины, ширины и высоты, поэтому не все его грани обязаны быть одинаковыми.
Аналогичный способ работает и для кругов. Два равных круга располагают в параллельных плоскостях, а каждую точку окружности одного круга мысленно соединяют с соответствующей точкой другой окружности. Между кругами возникает не набор плоских граней, а единая искривлённая боковая поверхность цилиндра.
Вид тела можно определить по форме и размеру исходных фигур. Два равных треугольника дают треугольную призму, а два равных круга — цилиндр. Однако одной формы мало: нужно также проверить, что фигуры равны, параллельны и соединены правильным образом.
В таблице сначала находите исходные плоские фигуры, затем смотрите на их расположение и способ соединения. Последний столбец помогает проверить, какие грани или поверхности получились. Если хотя бы одно условие нарушено, результат может оказаться другой пространственной фигурой.
| Пространственная фигура | Равные плоские фигуры | Расположение плоских фигур | Что соединяет фигуры | Особенности результата |
|---|---|---|---|---|
| Призма | Два равных многоугольника | В параллельных плоскостях | Соответствующие вершины и стороны | Боковые грани являются параллелограммами |
| Прямоугольный параллелепипед | Равные прямоугольники | В параллельных плоскостях и слоях | Соответствующие стороны и вершины | Все грани — прямоугольники |
| Куб | Равные квадраты | Взаимно перпендикулярных направлениях | Общие стороны квадратов | Все грани — равные квадраты |
| Цилиндр | Два равных круга | В параллельных плоскостях | Точки соответствующих окружностей | Боковая поверхность — искривлённая |
Условие. Из двух равных треугольников и трёх равных параллелограммов составьте пространственную фигуру. Назовите её и укажите основания.
Ответ: получилась треугольная призма. Основания — два равных треугольника.
Условие. Сколько квадратов потребуется для изготовления развёртки куба? Какие квадраты должны иметь общие стороны после сборки?
Ответ: потребуется шесть квадратов; общими сторонами должны быть соединены все пары граней, которые встречаются по рёбрам куба.
Условие. Даны две равные параллельные фигуры и указаны соответствия между их вершинами. Постройте боковые грани и определите полученную фигуру.
Ответ: полученная фигура — призма, а её вид определяется многоугольниками в основаниях.
Ошибка 1. Призмой называют любую фигуру с двумя основаниями. Забывают проверить равенство и параллельность оснований. Для проверки сравните их форму и размеры, а затем убедитесь, что они находятся в параллельных плоскостях.
Ошибка 2. Соединяют вершины не по соответствию. Это происходит, когда фигуры мысленно поворачивают или начинают соединение с разных мест. Проверьте, чтобы одинаково расположенные вершины были соединены друг с другом.
Ошибка 3. Основание путают с боковой гранью, потому что обе части являются плоскими фигурами. Основания — это две равные параллельные фигуры, а боковые грани находятся между ними. Найдите сначала пару одинаковых фигур, а затем рассматривайте остальные элементы.
Ошибка 4. Считают, что любое тело из равных фигур является призмой. Но фигуры могут быть расположены непараллельно или соединены так, что тело не замкнётся. Проверьте расположение, соответствие элементов и форму всех получившихся граней.
Для этой темы нужны признаки равенства плоских фигур, знания о многоугольниках, параллельности и перпендикулярности. Также пригодятся представления о гранях, рёбрах и вершинах пространственных тел. Эти знания помогут изучать развёртки многогранников, площади поверхностей и объёмы.
Почему основания призмы должны быть не только равными, но и параллельными?
Равенство показывает, что основания имеют одинаковую форму и размер. Параллельность задаёт правильное расположение этих фигур в пространстве, поэтому между ними можно соединить соответствующие элементы и получить призму.
Как понять, какие вершины равных оснований нужно соединять?
Соединяют вершины, занимающие одинаковое положение в равных фигурах. Например, вершину треугольника, лежащую между определёнными сторонами, соединяют с такой же вершиной второго основания.
Чем призма отличается от цилиндра?
У призмы основания являются многоугольниками, а боковые грани — плоскими многоугольниками, обычно параллелограммами. У цилиндра основания — круги, а боковая поверхность искривлена.
Можно ли из любых равных плоских фигур получить пространственную фигуру?
Нет, одного равенства недостаточно. Фигуры должны быть правильно расположены, а соединяемые элементы — соответствовать друг другу; иначе тело может не замкнуться или не иметь формы призмы.
Как по развёртке определить, какое тело получится после сборки?
Нужно посчитать грани, определить их форму и проверить, какие стороны имеют общие рёбра. Шесть равных квадратов дают развёртку куба, а прямоугольники, расположенные вокруг оснований, могут образовать прямоугольный параллелепипед.
9.5. Получение пространственных фигур из равных плоских фигур
