9.6. Получение пространственных фигур из неравных плоских фигур

Определения и обозначения

Пространственная фигура — объёмное геометрическое тело, которое можно получить, соединяя плоские фигуры. В отличие от плоского многоугольника, такое тело имеет длину, ширину и высоту. Это понятие нужно, чтобы описывать результат сборки деталей.

Грань — плоская фигура, являющаяся частью поверхности многогранника. Грани могут быть треугольниками, прямоугольниками, квадратами и другими многоугольниками, причём их форма и размер не обязаны совпадать. По граням можно понять, из каких деталей составлено тело.

Ребро — отрезок, по которому сходятся две грани. При сборке общими рёбрами становятся соединённые стороны деталей, поэтому их длины должны совпадать. Рёбра помогают увидеть, где одна грань переходит в другую.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра многогранника. В одной вершине обычно встречаются несколько граней. По вершинам можно проверить, правильно ли соединены соседние детали.

Как это устроено

Плоские детали для пространственной фигуры не обязаны быть одинаковыми. Причина в том, что разные участки поверхности тела могут иметь разную форму: например, основания призмы и её боковые части устроены по-разному. Поэтому набор деталей может включать многоугольники разных видов и размеров.

По набору деталей и способу соединения их сторон можно представить поверхность будущего многогранника. Стороны, которые должны стать общими, соединяют попарно, а остальные стороны постепенно образуют границы соседних граней. Если проследить, какие стороны соприкасаются, можно заранее понять форму тела.

Рассмотрим призму с треугольными основаниями. У неё есть два равных треугольника и три прямоугольные боковые грани, причём прямоугольники могут иметь разные размеры по длине и ширине. Треугольники соединяются с соответствующими сторонами прямоугольников, а сами прямоугольники соединяются боковыми сторонами.

Совпадение соединяемых сторон необходимо, потому что общее ребро имеет одну длину для обеих граней. Если одна сторона длиннее другой, детали не сойдутся точно: возникнет щель, выступ или потребуется деформировать фигуру. Несоединённые стороны после сборки остаются границами граней и образуют рёбра готового тела.

Результат проверяют по замкнутости поверхности. Все детали должны соединиться в одну оболочку без отверстий, зазоров и наложений, а каждая сторона должна занять предусмотренное место. Если поверхность не замыкается, значит, какая-то сторона выбрана неправильно или набора деталей недостаточно.

Плоские детали и получаемые пространственные фигуры

Таблица помогает сопоставить состав деталей с возможным многогранником. При проверке сначала сравните длины соединяемых сторон, затем проследите, закрывается ли вся поверхность.

Разбор задач

Задача 1

Из двух одинаковых треугольников и трёх прямоугольников составить модель пространственной фигуры. Определить её название.

1. Два одинаковых треугольника могут быть равными основаниями будущего тела.
2. У каждого треугольника три стороны, значит, к ним можно присоединить три прямоугольные боковые грани.
3. Соединим соответствующие стороны треугольников с прямоугольниками, а боковые стороны прямоугольников — между собой.
4. Получится замкнутая поверхность с двумя треугольными основаниями и тремя боковыми гранями.

Ответ: получится треугольная призма.

Задача 2

Даны квадрат и четыре треугольника, стороны которых совпадают со сторонами квадрата. Определить фигуру и описать порядок соединения деталей.

1. Квадрат удобно выбрать основанием, потому что у него четыре стороны.
2. Каждый треугольник присоединяем одной стороной к одной стороне квадрата.
3. Свободные стороны соседних треугольников соединяем друг с другом, чтобы их вершины сошлись в одной точке.
4. Проверяем, что длина основания каждого треугольника равна длине соответствующей стороны квадрата и поверхность закрыта.

Ответ: получится четырёхугольная пирамида с квадратным основанием.

Задача 3

Из набора плоских многоугольников требуется собрать замкнутый многогранник. Нужно найти, какие стороны соединить, и проверить, не останется ли отверстий или несовпадающих рёбер.

1. Выпишем длины всех сторон и найдём пары равных отрезков, которые могут стать общими рёбрами.
2. Начнём с одной детали и присоединим к её сторонам подходящие грани, не используя одну сторону дважды.
3. Продолжим соединять соседние детали, пока каждая сторона не получит нужную пару или не станет внешним ребром.
4. Обойдём полученную оболочку и проверим, что она замкнута, а грани не перекрываются.

Ответ: сборка верна, если все необходимые стороны попарно совпали, поверхность замкнулась и не осталось отверстий, зазоров или лишних деталей.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что все грани должны быть одинаковыми. Так думают, потому что легче представить тело из повторяющихся деталей, но у призмы или пирамиды грани различаются. Проверьте не одинаковость всех граней, а соответствие сторон и замкнутость поверхности.

Ошибка: соединять стороны разной длины. Это происходит, когда сравнивают только форму деталей и не измеряют отрезки. Сопоставьте длины: общее ребро должно иметь одну и ту же длину на обеих гранях.

Ошибка: принимать незамкнутую сборку за готовое тело. Несколько соединённых деталей ещё не образуют многогранник, если осталась дырка или открытая часть поверхности. Проведите взглядом по всей оболочке и найдите незакрытые участки.

Ошибка: путать плоскую заготовку с пространственной фигурой. Отдельные многоугольники лежат на плоскости и не имеют объёма, даже если предназначены для одной модели. Фигура готова только после правильного соединения граней в единую оболочку.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о многоугольниках, их сторонах и вершинах, а также умение сравнивать длины отрезков. Эти навыки помогают подобрать пары соединяемых сторон и распознать форму деталей.

Тема связана с многогранниками, их гранями, рёбрами и вершинами, а также с развёртками геометрических тел. Такие знания применяют при построении развёрток и изготовлении моделей из бумаги или картона.

Что запомнить

• Пространственную фигуру можно составить из плоских деталей.
• Грани одного многогранника не обязаны быть одинаковыми.
• Стороны деталей, соединяемые при сборке, должны совпадать по длине.
• Соединённые грани образуют рёбра пространственной фигуры.
• Поверхность собранного многогранника должна замыкаться.
• Форму тела определяют не только детали, но и способ их соединения.