9.7. Как мы видим и рисуем параллельные отрезки

Определения и обозначения

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. Если продолжить прямые, содержащие такие отрезки, они не пересекутся. Это определение помогает говорить о направлении отрезков, даже если сами отрезки короткие и не соприкасаются.

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Если продолжать их в обе стороны, расстояние между ними остаётся одинаковым. Это свойство нужно, чтобы проверять параллельность отрезков: сравнивают прямые, на которых они лежат.

Перспективное изображение — рисунок, на котором дальние предметы кажутся меньше, а параллельные в жизни направления могут выглядеть сходящимися. Так зрение помогает передать глубину и удалённость. Поэтому рисунок не всегда показывает точные направления и размеры предмета.

Параллельная проекция — способ изображения, при котором параллельные направления в пространстве передаются параллельными линиями на рисунке. Это удобно для чертежей: по ним проще понять, какие части предмета направлены одинаково. При этом изображение не обязано сохранять все размеры и углы.

Как это устроено

Посмотри на рельсы, края длинной дороги или стены коридора: вблизи они далеко друг от друга, а вдали словно сближаются. Причина не в том, что линии на самом деле повернули навстречу друг другу. Удалённые части предметов кажутся меньше, а глаз воспринимает их как более близкие. Такое изображение называют перспективным, и оно передаёт впечатление глубины.

Нужно различать сам предмет и его рисунок. Например, края прямой дороги могут быть параллельны в действительности, хотя на фотографии они сходятся к далёкой точке. Геометрические свойства относятся к настоящему расположению линий, а видимое сходство — к способу изображения. Поэтому перспективная картинка не доказывает, что параллельные края пересекутся.

Для чертежей тел удобна параллельная проекция. В ней одинаково направленные рёбра изображают параллельными отрезками, поэтому по рисунку легче увидеть устройство предмета. Например, у параллелепипеда три направления рёбер, и рёбра каждого направления можно показать параллельными. Длины и углы при этом могут выглядеть иначе, зато сохраняется важная информация о параллельности.

Чтобы построить отрезок параллельно данному, сначала выбери точку, через которую он должен пройти. Приложи угольник к данному отрезку так, чтобы сохранить направление, и проведи через выбранную точку параллельную прямую. На ней отметь два конца нового отрезка и соедини их. Если нужна заданная длина, измерь её линейкой, не меняя направления прямой.

Рисунок помогает понять форму предмета, но не всегда передаёт его размеры и углы точно. В перспективе дальний отрезок может казаться короче ближнего, хотя в действительности они равны. Даже в параллельной проекции длина изображения может отличаться от длины предмета. Поэтому свойства, которые видны на рисунке, нужно отделять от свойств самого предмета.

Параллельные отрезки в действительности и на изображении

Сначала выбери в таблице свойство, которое нужно сравнить, а затем прочитай его описание в трёх случаях. Так видно, что перспективное изображение может менять впечатление от направлений, а параллельная проекция сохраняет параллельность. Ни один из этих способов не гарантирует точного изображения всех длин и углов.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке два края дороги вдали кажутся сходящимися. Нужно выяснить, могут ли они в действительности быть параллельными. Разделим свойства дороги и особенности её изображения.

1. Определи, что рисунок показывает удаление: дальние участки кажутся меньше и ближе друг к другу. Это признак перспективного изображения.
2. Вспомни, что видимое сходство на рисунке не означает пересечения настоящих краёв. Если содержащие их прямые не пересекаются, края дороги параллельны.
3. Сделай вывод: по одному перспективному рисунку нельзя решить, что края дороги в действительности сходятся. Они могут быть параллельными.

Ответ: да, края могут быть параллельными в действительности, хотя на рисунке кажутся сходящимися. Изображение передаёт перспективу, а не точное расположение линий на плоскости.

Задача 2. Через две заданные точки нужно построить отрезки, параллельные данному, и обозначить их концы. Точки задают положение будущих отрезков, а направление берётся от данного отрезка. Чтобы чертёж был точным, не проводи линии только на глаз.

1. Обозначь заданные точки, например A и B, а концы данного отрезка — C и D. Приложи угольник к прямой CD и проведи через A прямую в том же направлении.
2. Не меняя направления угольника, сдвинь его к точке B и проведи вторую прямую. Обе новые прямые параллельны CD и друг другу.
3. Отметь на каждой прямой концы будущего отрезка, например A₁ и A₂, B₁ и B₂. Соедини пары точек и подпиши их; длины можно выбрать отдельно, если условие их не задаёт.

Ответ: получены два отрезка, лежащие на прямых, параллельных данному. Проверка: линии через заданные точки должны иметь одинаковое направление и не пересекать прямую CD.

Задача 3. Нужно изобразить прямоугольный параллелепипед в параллельной проекции и указать три группы параллельных рёбер. У параллелепипеда есть три направления рёбер: вдоль длины, ширины и высоты. Каждое направление образует отдельную группу.

1. Нарисуй переднюю грань в виде параллелограмма, например ABCD. Четыре его стороны изображают рёбра, но на чертеже углы могут отличаться от прямых.
2. Из вершин проведи рёбра в одном выбранном направлении, соблюдая одинаковый наклон и параллельность. Соедини концы так, чтобы получилась задняя грань.
3. Выдели рёбра, направленные одинаково: рёбра передней и задней граней одного направления составляют группу, а два других направления дают ещё две группы.

Ответ: на рисунке должны быть три группы параллельных рёбер. В параллельной проекции рёбра одного направления остаются параллельными, даже если изображённые длины или углы отличаются от настоящих.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что параллельные края дороги обязаны быть параллельными на любом рисунке. Её допускают, когда путают реальный предмет с перспективным изображением. Проверь себя: выясни, передаёт ли рисунок удаление, и помни, что вдали линии могут казаться сходящимися.

Ошибка — считать параллельные отрезки обязательно равными по длине. Параллельность описывает направление, а длина может быть любой. Проверь себя: представь два отрезка на разных параллельных прямых и сравни их длины — они могут быть разными.

Ошибка — определять реальные углы и длины только по перспективному рисунку. Изображение может менять видимый размер предмета и направление линий, поэтому глаз не всегда даёт точный ответ. Проверь себя: уточни, что именно сохраняет выбранный способ изображения, и не считай видимую величину действительной без данных.

Ошибка — проводить отрезок параллельно «на глаз». Небольшой наклон меняет направление, и прямые при продолжении могут пересечься. Используй линейку и угольник или другой способ провести параллельную прямую, а затем проверь совпадение направления.

Связь с другими темами

Перед этой темой нужно уметь отличать прямую от отрезка, продолжать отрезок до прямой и распознавать параллельные прямые на плоскости. Эти знания помогают проверить параллельность отрезков по прямым, на которых они лежат. Дальше понимание параллельных направлений пригодится при изображении геометрических тел и чтении чертежей. Оно также помогает разобраться, почему перспектива меняет вид предмета на рисунке.

Что запомнить

• Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых.
• Перспективное изображение может показывать параллельные направления сходящимися.
• В параллельной проекции параллельные направления изображаются параллельными.
• Изображение предмета не всегда сохраняет его длины и углы.
• Параллельность отрезков не означает равенство их длин.
• При построении параллельных отрезков важно точно сохранить направление.