В этой главе вы узнали

Определения и обозначения

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Кратное числа получается умножением этого числа на натуральное число: 18 кратно 6, а 6 — делитель 18. Связь записывают так: 18 ⋮ 6 или 18 делится на 6.

Простое число имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя. Составное число имеет больше двух делителей, например 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Такое различие помогает выбирать способ разложения чисел.

Признак делимости — правило, по которому можно узнать, делится ли число на другое, не выполняя деление. Например, делимость на 2 проверяют по последней цифре, а на 3 — по сумме цифр. Признаки экономят время и уменьшают риск ошибки.

Разложение на простые множители — представление составного числа в виде произведения простых чисел: 60 = 2² · 3 · 5. Оно нужно для удобного нахождения НОД и НОК.

Как это устроено

Делитель и кратное описывают одну и ту же связь с разных сторон. Если 24 делится на 6, то 24 = 6 · 4, поэтому 24 является кратным 6, а 6 — делителем 24. Такое взаимное описание помогает понять, какое число нужно искать в задаче: часть, на которую делят, или результат, полученный умножением.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным, потому что у него только один делитель. Если бы 1 считали простым, разложение чисел на простые множители можно было бы записывать бесконечным количеством способов, добавляя единицы. У простого числа ровно два делителя, поэтому оно уже не требует дальнейшего разложения.

Признаки делимости связаны с устройством десятичной записи числа. Последняя цифра показывает, какой остаток получится при делении на 2, 5 или 10: поэтому для этих признаков достаточно посмотреть на неё. При делении на 3 или 9 значение числа связано с суммой его цифр, поэтому складывают все цифры, а затем проверяют полученную сумму.

Чтобы разложить составное число, сначала находят любой его простой делитель и выполняют деление. Получившийся частный снова проверяют: если он составной, его делят дальше, пока все множители не станут простыми. Правильность можно проверить обратным действием — перемножить найденные простые множители и получить исходное число.

Для НОД из разложений берут только общие простые множители и наименьшие показатели степеней. Для НОК берут каждый множитель, который встречается хотя бы в одном разложении, и его наибольший показатель. Поэтому НОД связан с общими частями чисел, а НОК — с числом, которое должно вместить оба разложения.

Делимость натуральных чисел

Сначала определите, какое условие подходит к вашей задаче. Для признаков делимости смотрите на последнюю цифру или складывайте цифры числа. При поиске НОД и НОК удобно сначала разложить числа на простые множители.

Разбор задач

Задача 1. Определим, делится ли 7380 на 2, 3, 5, 9 и 10 без деления. Нужно отдельно применить признак по последней цифре и признак по сумме цифр. Так мы проверим все пять делителей.

1. Последняя цифра числа — 0, поэтому 7380 делится на 2, 5 и 10.
2. Сумма цифр равна 7 + 3 + 8 + 0 = 18.
3. Число 18 делится и на 3, и на 9, значит, 7380 также делится на 3 и 9.

Ответ: 7380 делится на 2, 3, 5, 9 и 10. Ни одного деления столбиком выполнять не потребовалось.

Задача 2. Разложим 420 и 588 на простые множители, а затем найдём их НОД и НОК. Разложение показывает, какие простые множители у чисел совпадают и в каких степенях они встречаются.

1. 420 = 2² · 3 · 5 · 7, а 588 = 2² · 3 · 7².
2. Для НОД берём общие множители 2², 3 и 7: НОД = 2² · 3 · 7 = 84.
3. Для НОК берём 2², 3, 5 и 7²: НОК = 2² · 3 · 5 · 7² = 2940.

Ответ: НОД(420, 588) = 84, НОК(420, 588) = 2940. Проверить НОД можно делением обоих чисел на 84 без остатка.

Задача 3. В наборах 84 и 126 предметов нужно составить одинаковые группы без остатка. Требуется наибольшее число групп, поэтому ищем общий делитель, причём самый большой. После нахождения НОД нужно разделить количество предметов каждого вида на число групп.

1. Разложим числа: 84 = 2² · 3 · 7, 126 = 2 · 3² · 7.
2. Общие множители с меньшими показателями дают НОД = 2 · 3 · 7 = 42.
3. В каждой группе будет 84 : 42 = 2 предмета первого вида и 126 : 42 = 3 предмета второго вида.

Ответ: можно составить 42 одинаковые группы. В каждой группе будет 2 предмета первого вида и 3 предмета второго вида.

Типичные ошибки

Считать 1 простым числом. Ошибка возникает из-за привычки называть простыми все числа, которые нельзя разделить на меньшие числа. Проверьте количество делителей: у 1 он только один, значит, число не простое.

Проверять делимость на 3 или 9 по последней цифре. Последняя цифра подходит для признаков 2, 5 и 10, но не для 3 и 9. Сложите все цифры числа и сравните сумму с нужным признаком.

Путать НОД и НОК. При поиске НОД берут только общие множители с наименьшими показателями, а при поиске НОК — все множители с наибольшими показателями. Проверьте смысл задачи: равные группы требуют НОД, общий момент — НОК.

Не доводить разложение до простых множителей. Иногда составное число принимают за готовый множитель, потому что деление остановилось слишком рано. Посмотрите на каждый множитель отдельно: если у него больше двух делителей, разложение нужно продолжить.

Связь с другими темами

До изучения делимости нужны таблица умножения, деление с остатком, разложение чисел и свойства действий. Эти знания помогают находить делители, проверять остаток и выполнять разложения без пропусков.

Делимость используется при действиях с дробями. НОД помогает сокращать дроби, а НОК — приводить их к общему знаменателю.

В жизни делимость нужна для распределения предметов на равные группы и составления повторяющихся расписаний. НОК помогает находить момент, когда несколько повторяющихся событий произойдут одновременно.

Что запомнить

• Если a делится на b, то a — кратное b, а b — делитель a.
• Простое число имеет ровно два различных делителя.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Сумма цифр помогает проверять делимость на 3 и 9.
• Последняя цифра помогает проверять делимость на 2, 5 и 10.
• НОД используют для разбиения на наибольшее число одинаковых групп.
• НОК используют для нахождения ближайшего общего кратного или момента совпадения повторяющихся событий.