В этой главе вы узнали

Определения и обозначения

Рациональное число — это целое число или дробь, которую можно представить в виде a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0. К рациональным относятся положительные и отрицательные числа, нуль, обыкновенные и конечные десятичные дроби. Это понятие объединяет разные виды чисел в одну систему.

Противоположные числа — числа, расположенные на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него. Например, 4 и −4 противоположны, потому что имеют одинаковый модуль и разные знаки. Такие числа нужны при замене вычитания сложением: a − b = a + (−b).

Модуль числа — расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Его обозначают так: |a|; например, |−6| = 6 и |6| = 6. Модуль помогает сравнивать удалённость чисел от нуля и выполнять действия с разными знаками.

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. На ней каждому числу соответствует точка, а рациональные числа отмечают между соседними целыми с нужной точностью. По положению точек можно сравнить числа: правее расположено большее число.

Как это устроено

Положительные и отрицательные числа образуют единую систему рациональных чисел, потому что описывают величины по разные стороны от нуля. Положительные числа могут показывать прибыль или высоту, а отрицательные — долг или глубину. Нуль отделяет эти два направления и сам не является ни положительным, ни отрицательным.

На координатной прямой числа увеличиваются слева направо: движение вправо означает прибавление, а движение влево — уменьшение. Поэтому больше то число, чья точка расположена правее. Например, −2 правее −5, значит, −2 > −5, хотя его модуль меньше.

Правила действий со знаками связаны со свойствами сложения и умножения. При сложении противоположных чисел одинаковые по величине части взаимно уничтожаются, а при умножении знак результата зависит от того, сколько отрицательных множителей. Поэтому два минуса дают плюс, а один минус среди двух множителей даёт минус.

При сложении одинаковых знаков складывают модули и сохраняют общий знак. При разных знаках сравнивают модули, вычитают меньший из большего и берут знак числа с большим модулем. Так, −7 + 3 = −4: отрицательная часть сильнее положительной на 4 единицы.

Чтобы вычислить выражение с рациональными числами, сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Если скобок нет, действия одного уровня выполняют слева направо. Такой порядок не позволяет изменить смысл выражения и помогает находить результат по шагам.

Рациональные числа и действия над ними

В таблице сначала определите правило, которое подходит к примеру, а затем отдельно вычислите модули и знак результата. При сложении и вычитании полезно мысленно представить движение по координатной прямой. Это уменьшает количество ошибок со знаками.

Разбор задач

Сравнение чисел и координатная прямая

Задача: сравнить числа −3,7 и −3,2 и отметить их на координатной прямой. Оба числа отрицательные, поэтому их точки будут расположены слева от нуля. Нужно понять, какое из них находится ближе к нулю.

1. Отметим на прямой точки −3,7 и −3,2: точка −3,7 левее, потому что это число дальше от нуля.
2. Сравним модули: 3,7 больше 3,2. Для отрицательных чисел больший модуль означает положение левее.
3. Запишем сравнение: −3,7 < −3,2.

Ответ: −3,7 < −3,2. Проверить результат можно по прямой: −3,2 расположено правее −3,7.

Вычисление выражения

Задача: вычислить выражение −4,8 + 2,6 − (−1,2). Сначала уберём вычитание отрицательного числа, потому что именно оно часто становится причиной ошибки. Затем выполним сложение слева направо.

1. Заменяем вычитание сложением противоположного числа: −4,8 + 2,6 + 1,2.
2. Складываем −4,8 и 2,6: знаки разные, поэтому вычитаем меньший модуль из большего: 4,8 − 2,6 = 2,2. Знак берём от числа с большим модулем, получаем −2,2.
3. Прибавляем 1,2: −2,2 + 1,2 = −1.

Ответ: −1. Подстановка преобразованной записи подтверждает вычисление: −4,8 + 2,6 + 1,2 = −1.

Решение уравнения

Задача: решить уравнение −2,5x + 4,7 = −7,8 и выполнить проверку. Наша цель — оставить x один, поэтому сначала уберём слагаемое 4,7, а затем разделим обе части на коэффициент при x.

1. Вычитаем 4,7 из обеих частей: −2,5x = −7,8 − 4,7 = −12,5.
2. Делим обе части на −2,5: x = (−12,5) : (−2,5) = 5.
3. Проверяем подстановкой: −2,5 · 5 + 4,7 = −12,5 + 4,7 = −7,8.

Левая часть совпала с правой, значит, корень найден верно. Ответ: x = 5.

Типичные ошибки

При сложении отрицательных чисел ученик складывает модули, но записывает положительный знак. Так происходит, если внимание сосредоточено на числах, а не на их направлении. Проверьте знак: сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, например −3 + (−2) = −5.

При вычитании отрицательного числа иногда оставляют прежнее действие. Ошибка появляется из-за того, что два знака рядом кажутся лишними. Сначала замените вычитание сложением противоположного числа: 6 − (−4) = 6 + 4.

При умножении или делении путают правило знаков и считают, что минус всегда даёт отрицательный результат. На самом деле знак зависит от количества отрицательных множителей или делителей: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Перед вычислением отдельно назовите знак, а потом посчитайте модули.

При сравнении отрицательных дробей большей считают дробь с большим модулем. Причина в том, что забывается направление координатной прямой. Для отрицательных чисел число с большим модулем расположено левее и потому является меньшим.

Связь с другими темами

До этой темы нужны действия с обыкновенными и десятичными дробями, координатная прямая и порядок выполнения действий. Эти знания помогают вычислять рациональные выражения без смешения правил.

Рациональные числа пригодятся при решении уравнений, задач на движение и работу. Они также встречаются при изучении координат, графиков и функций, где величины могут быть отрицательными.

С алгеброй тема связана напрямую: рациональные числа становятся коэффициентами и значениями переменных в буквенных выражениях. Умение работать со знаками нужно для преобразования формул и решения уравнений.

Что запомнить

• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки.
• Модуль числа не может быть отрицательным.
• При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший.
• При умножении и делении одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус.
• Вычитание числа заменяют сложением противоположного числа.
• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.