"Математика", Ткачёва М.В.
Отношения, пропорции, проценты и масштаб помогают сравнивать величины и находить неизвестные значения. Отношение показывает результат деления одной величины на другую, а пропорция связывает два равных отношения. Проценты выражают части целого в сотых долях, а масштаб сопоставляет расстояние на изображении с настоящим. Эти понятия нужны в задачах о ценах, движении, картах и чертежах; главное — следить за единицами измерения и правильно выбирать действие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение — это частное двух величин, которое показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой либо какую часть одной составляет другая. Его записывают, например, так: 6:3 или 6/3. Отношение помогает сравнивать количества не только по разности, но и по тому, как они соотносятся друг с другом.
Пропорция — равенство двух отношений, например a:b = c:d. В записи a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Пропорция нужна, когда между величинами сохраняется одно и то же соотношение и по известным значениям требуется найти неизвестное.
Процент — одна сотая часть величины, то есть 1% = 1/100 = 0,01. Поэтому 25% равны 25/100, или 0,25, а 100% составляют целую величину. Проценты позволяют удобно описывать части целого, скидки, изменения цен и результаты измерений.
Масштаб — отношение длины на изображении к соответствующей длине в действительности. Например, запись 1:100 означает, что 1 см на чертеже соответствует 100 см настоящего объекта. Масштаб помогает изображать большие расстояния на карте, а реальные размеры — на чертеже.
Чтобы составить отношение величин, сначала вырази их в одинаковых единицах. Иначе деление сравнит не сами величины, а ещё и разные способы их записи: например, метры и сантиметры. Когда единицы совпадают, раздели первую величину на вторую и при необходимости сократи полученную дробь. Порядок важен: отношение 2:5 показывает не то же самое, что 5:2.
В пропорции a:b = c:d можно записать дробями: a/b = c/d. Если обе части равны, то при умножении каждой на b · d равенство сохраняется, и получается a · d = b · c. Значит, произведение крайних членов равно произведению средних — это основное свойство пропорции. Оно позволяет проверить пропорцию и составить уравнение для поиска неизвестного члена.
Неизвестный член находят, сохраняя порядок членов и пользуясь равенством произведений: например, из x/4 = 3/2 следует 2x = 12, поэтому x = 6. То же правило помогает решать задачи на часть и целое: если известна часть, а её доля от целого понятна, можно составить пропорцию. Например, если 3 части составляют 12, то 1 часть равна 12:3, а всё целое из 5 частей — 20. Главное — соотнести одинаковые величины в одинаковом порядке.
Для вычислений с процентами используй связь 1% = 1/100 = 0,01. Чтобы найти p% от числа a, умножь a на p/100: так находятся, например, скидка от цены или часть учащихся от общего числа. Чтобы найти целое по известной части, раздели эту часть на соответствующую долю; чтобы узнать, сколько процентов составляет одна величина от другой, раздели первую на вторую и умножь на 100%. Перевод процентов в дробь помогает выбрать правильное действие и не принять 15% за число 15.
Масштаб задаёт, во сколько раз длина на карте или чертеже отличается от настоящей длины. При масштабе 1:n каждая единица на изображении соответствует n таким же единицам в действительности, поэтому для перехода к местности длину изображения умножают на n. Для обратного перехода действительную длину делят на n. Сначала выполняй расчёт в одинаковых единицах, а затем переводи результат, например сантиметры в километры.
В таблице собраны основные записи и подсказки, какое действие выбрать. В каждой задаче сначала определи, что известно и что требуется найти, а потом найди подходящую строку. Проверь единицы измерения и смысл полученного ответа.
| Понятие или действие | Запись | Что показывает или позволяет найти |
|---|---|---|
| Отношение двух величин | a:b = a/b | Сравнение величин делением; единицы предварительно уравнивают. |
| Основное свойство пропорции | a:b = c:d; ad = bc | Проверить пропорцию или составить равенство для неизвестного. |
| Нахождение неизвестного члена пропорции | Из a:b = c:x следует a · x = b · c | Найти неизвестный член, перемножив средние и крайние члены. |
| Нахождение части от числа | a · p/100 | Найти p% от числа a. |
| Нахождение числа по его части | часть : доля | Восстановить целое, если известна его часть и доля. |
| Нахождение процентного отношения | часть : целое · 100% | Узнать, сколько процентов составляет одна величина от другой. |
| Масштаб и переход от изображения к действительности | 1:n; длина на изображении · n | Найти настоящую длину по изображению; затем перевести единицы. |
Задача 1. Отрезок длиной 18 см разделён на части в отношении 2:7. Найдём длины частей. Числа 2 и 7 показывают, сколько одинаковых долей приходится на каждую часть, поэтому удобно обозначить одну долю буквой x. Тогда обе длины можно выразить через x.
Ответ: 4 см и 14 см. Проверка общей длины и отношения подтверждает, что обе части подходят условию.
Задача 2. Товар стоил 2400 рублей и подешевел на 15%. Найдём новую цену. Сначала нужно вычислить не новую цену, а размер скидки: 15% — это 15 сотых от первоначальной стоимости. Затем скидку вычтем из исходной цены.
Ответ: новая цена — 2040 рублей. Нельзя вычитать из цены число 15: оно обозначает проценты, а не рубли.
Задача 3. На карте масштаба 1:2 000 000 расстояние между городами равно 4,5 см. Найдём реальное расстояние, а затем время пути при скорости 60 км/ч. Сначала переведём длину с карты в сантиметры на местности, после этого — в километры. Для времени используем формулу пути: время равно расстоянию, делённому на скорость.
Ответ: расстояние между городами — 90 км, время пути — 1,5 часа, или 1 час 30 минут. Это расчёт по условию постоянной скорости; остановки в нём не учитываются.
Сравнивают величины в разных единицах, например 3 м и 40 см, и сразу делят числа 3 и 40. Так получают отношение, которое не отражает реальное сравнение: метры и сантиметры имеют разный размер единицы. Перед делением переведи величины в одинаковые единицы. Для проверки оцени смысл: 3 м — это 300 см, поэтому эта величина больше 40 см.
В пропорции переставляют члены и связывают несоответствующие величины. Ошибка возникает, когда при записи не сохраняют порядок сравнения, например сопоставляют цену одного товара с количеством другого. Запиши отношения в одинаковом порядке: если в первом отношении сначала указана цена, во втором тоже сначала должна идти соответствующая цена. Проверить себя можно умножением крайних и средних членов.
При нахождении процентов от числа умножают на число процентов, например вычисляют 2400 · 15 вместо 2400 · 0,15. Такое действие ошибочно, потому что 15% — это пятнадцать сотых, а не пятнадцать целых. Сначала запиши процент как дробь p/100 или десятичное число. Проверь ответ: 15% должно быть меньше целого числа, поэтому результат для положительного числа меньше 2400.
В задачах на масштаб путают длину на изображении с действительной длиной и забывают переводить единицы. Это происходит потому, что в записи 1:n обе длины кажутся просто числами, хотя одна относится к карте, а другая — к местности. Подпиши единицы у каждого шага и проверь направление: расстояние на местности должно быть больше расстояния на карте, если масштаб 1:n и n больше 1. В конце переведи сантиметры или метры в нужную единицу.
Для этой темы нужны действия с обыкновенными и десятичными дробями, перевод единиц измерения и решение линейных уравнений. Отношения и пропорции готовят к алгебре: равенство отношений помогает выражать связь между величинами и находить неизвестные. Эти способы пригодятся в задачах на движение, смеси, стоимость и вероятность, а масштаб — при работе с чертежами, картами и подобием фигур.
Почему перед составлением отношения нужно переводить величины в одинаковые единицы?
Отношение находят делением, а делить для сравнения нужно величины, выраженные в одинаковых единицах. Например, прежде чем сравнить 2 м и 50 см, переведи 2 м в 200 см. Тогда отношение 200:50 равно 4.
Как быстро проверить, правильно ли составлена пропорция?
Умножь крайние члены пропорции и отдельно средние. Если произведения равны, пропорция составлена верно. Перед проверкой убедись, что сравниваемые величины расположены в соответствующем порядке.
Чем отличаются задачи на нахождение части, числа по его части и процентного отношения?
Чтобы найти часть от числа, известное число умножают на долю. Чтобы найти целое по его части, часть делят на долю. Процентное отношение показывает, сколько процентов составляет одна величина от другой: первую делят на вторую и умножают на 100%.
Почему при увеличении на 20% и последующем уменьшении на 20% исходное число не возвращается?
После увеличения на 20% проценты считают уже от нового, большего числа. Например, 100 увеличивается до 120, а 20% от 120 — это 24. После уменьшения получится 96, а не 100.
Как не перепутать масштаб карты с обратным ему отношением?
Масштаб 1:2 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см в действительности. Для перехода от карты к местности умножай длину на карте на второе число отношения. Для обратного перехода действительную длину дели на него.
В этой главе вы узнали
