"Математика. Учебник для специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида*", Капустина Г.М., Перова М.Н.
Целые числа — это положительные и отрицательные числа, а также ноль. С ними выполняют сложение, вычитание, умножение и деление, используя правила знаков и модулей. Эти правила помогают находить значение выражений с температурами, долгами, координатами и другими величинами. Главное — различать знак числа и его модуль, соблюдать порядок действий и помнить, что на ноль делить нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целые числа — это положительные числа, отрицательные числа и ноль. Положительное число можно записать со знаком плюс: +6, а отрицательное — со знаком минус: −6; ноль не относят ни к положительным, ни к отрицательным числам. На числовой прямой положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева, поэтому расположение помогает сравнивать числа.
Сложение целых чисел — действие, при котором находят сумму двух чисел. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а полученный результат — суммой. Это действие показывает, как изменяется число, если к нему прибавить другое значение.
Вычитание целых чисел — действие, при котором из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Его можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Такая запись удобна, потому что для всех случаев используется одно правило сложения.
Умножение и деление целых чисел — действия, в которых сначала определяют знак результата, а затем работают с модулями чисел. Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он не бывает отрицательным: |−8| = 8. Такой порядок помогает не смешивать вычисление величины результата и его направления.
Знак показывает направление числа относительно нуля, а модуль — его величину. Поэтому при действиях сначала полезно определить, какие модули участвуют, а затем установить знак результата. Например, в числе −9 знак минус сообщает о положении слева от нуля, а модуль 9 показывает расстояние до нуля.
При сложении чисел одного знака их части направлены одинаково, поэтому модули складывают. Общий знак сохраняется: −3 + (−5) = −8, а 3 + 5 = 8. При сложении чисел разных знаков части направлены навстречу друг другу, поэтому большая по величине часть «перевешивает» меньшую: из большего модуля вычитают меньший и берут его знак.
Вычитание означает прибавление числа, противоположного вычитаемому. Противоположные числа имеют одинаковые модули и разные знаки, например 7 и −7. Поэтому запись 4 − (−6) превращается в 4 + 6: убирается отрицательное уменьшение, и значение увеличивается.
При умножении знак результата зависит от того, сколько отрицательных множителей участвует в действии. Два одинаковых знака дают плюс, а один минус среди двух множителей даёт минус; это же правило действует при делении. Сначала находят произведение или частное модулей, потому что модуль показывает размер результата, а правило знаков — его направление.
В сложном выражении действия выполняют по порядку, чтобы каждый промежуточный результат был определён однозначно. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание слева направо. Деление на ноль невозможно: не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы делимое.
| Действие | Условия по знакам | Как найти результат | Пример |
|---|---|---|---|
| Сложение чисел одного знака | Знаки одинаковые | Сложить модули и сохранить общий знак | −6 + (−2) = −8 |
| Сложение чисел разных знаков | Знаки разные | Из большего модуля вычесть меньший и взять его знак | −9 + 4 = −5 |
| Вычитание целых чисел | Любые знаки | Заменить вычитание сложением противоположного числа | 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 |
| Умножение целых чисел | Одинаковые знаки — плюс, разные — минус | Перемножить модули и поставить найденный знак | −4 · 3 = −12 |
| Деление целых чисел | Одинаковые знаки — плюс, разные — минус | Разделить модули и поставить найденный знак | −18 : (−6) = 3 |
Пользуйся таблицей в два этапа: сначала определи вид действия и знаки чисел, затем выполни действие с модулями. Для вычитания сначала перепиши выражение как сложение противоположного числа. При делении проверь, что делитель не равен нулю.
Слагаемые имеют разные знаки, поэтому их модули не складываются. Нужно сравнить 7 и 12, чтобы понять, какой знак останется у результата. Так как модуль числа 12 больше, ответ будет положительным.
Ответ: −7 + 12 = 5.
В выражении есть вычитание отрицательного числа, поэтому сначала заменим его сложением противоположного числа. После этого останется последовательное сложение трёх чисел. При сложении будем каждый раз учитывать знаки и модули.
Ответ: −8 − (−5) + 3 = 0.
Сначала определяем действия высшего приоритета: деление и умножение. Скобки здесь только обозначают отрицательные числа, поэтому отдельно раскрывать их не нужно. После получения двух результатов выполняем сложение и вычитание слева направо.
Ответ: (−48) : (−6) + (−3) · 4 − 5 = −9.
При сложении чисел разных знаков иногда складывают модули. Так происходит из-за переноса правила для одинаковых знаков. Проверь себя: если знаки разные, результат по модулю не может быть больше большего из исходных модулей.
При вычитании отрицательного числа оставляют два знака или меняют знак у уменьшаемого. Причина — неверное понимание того, какое число является вычитаемым. Перепиши действие через сложение противоположного числа и только потом считай.
Некоторые считают, что произведение или частное всегда положительно либо смотрят только на первое число. Знак зависит от обоих чисел: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Перед вычислением поставь рядом знаки чисел и проверь их совпадение.
Ещё одна ошибка — выполнять действия просто слева направо, не учитывая приоритет. В результате сложение может быть сделано раньше умножения или деления. Проверь выражение по уровням: скобки, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
До изучения темы нужно знать положительные и отрицательные числа, ноль, противоположные числа, модуль и расположение чисел на прямой. Эти понятия объясняют, откуда берутся знак и величина результата. Без них трудно правильно складывать числа разных знаков.
Также пригодятся таблица умножения, действия с натуральными числами и правила порядка действий. Новые вычисления строятся на уже знакомых приёмах, но требуют внимательнее следить за знаками. Полезно повторить скобки и деление.
Правила целых чисел нужны при решении уравнений, работе с координатами и раскрытии скобок. Позже они помогут изучать дробные числа и выполнять действия с ними. Например, координаты точки могут быть отрицательными, а изменение величины — выражаться вычитанием отрицательного числа.
Как сложить два отрицательных числа?
Нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус. Например: −4 + (−7) = −(4 + 7) = −11.
Почему при сложении чисел разных знаков нужно вычитать модули?
Числа разных знаков действуют в противоположных направлениях: положительное увеличивает значение, а отрицательное уменьшает его. Поэтому из большего модуля вычитают меньший, а знак берут у числа с большим модулем.
Как вычесть отрицательное число?
Вычитание отрицательного числа заменяют сложением положительного: a − (−b) = a + b. Например: 6 − (−3) = 6 + 3 = 9.
Как определить знак произведения или частного?
Если знаки чисел одинаковые, результат положительный. Если знаки разные, результат отрицательный; затем отдельно выполняют действие с модулями.
Можно ли разделить одно целое число на другое и всегда получить целое число?
Нет. Например, 7 : 2 = 3,5, а это не целое число. Деление возможно, но результат может оказаться дробным; кроме того, на ноль делить нельзя.
Арифметические действия с целыми числами
