Простые и составные числа

Определения и обозначения

Натуральное число — положительное целое число, используемое при счёте: 1, 2, 3, 4 и так далее. Натуральные числа нужны, чтобы считать предметы и обозначать их количество. В этой теме рассматриваются именно такие числа.

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя. Например, у числа 13 делители 1 и 13. Это определение помогает отличить простое число от всех остальных натуральных чисел.

Составное число — натуральное число, имеющее более двух делителей. Например, у числа 12 есть делители 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Значит, число 12 составное.

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 является делителем 12, потому что 12 : 3 = 4. По делителям определяют, является число простым или составным.

Как это устроено

Чтобы отличить простое число от составного, нужно посчитать его делители. Если делителей ровно два — 1 и само число, число простое. Если нашёлся хотя бы ещё один делитель, делителей становится больше двух, и число составное.

У простого числа 1 обязательно является делителем, потому что любое натуральное число делится на 1 без остатка. Само число также всегда является своим делителем: например, 13 : 13 = 1. Других делителей у простого числа нет, иначе их количество было бы больше двух.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. Оно делится без остатка только на 1, поэтому имеет один делитель, а не два и не более двух. Условие о количестве делителей не позволяет включить единицу в одну из этих групп.

Число 2 — единственное чётное простое число. Оно делится на 1 и на 2, но больше делителей не имеет. Любое чётное число, большее 2, делится на 2, а значит, кроме 1 и самого числа, имеет дополнительный делитель и является составным.

Чтобы проверить число на составность, достаточно найти делитель, отличный от 1 и самого числа. Например, для 15 подходит число 3: 15 : 3 = 5 без остатка. Полностью перечислять все делители необязательно, потому что одного дополнительного делителя уже достаточно для вывода.

Сравнение простых и составных чисел

Сначала определите, сколько делителей уже известно у числа: 1 и само число есть всегда. Затем ищите дополнительный делитель. Если он найден, выбирайте столбец составного числа; если дополнительных делителей нет, число простое, кроме особого случая 1.

Таблица также показывает связь с произведением. Если число можно записать как произведение двух меньших натуральных чисел, оно составное: например, 12 = 3 · 4.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли число 13 простым или составным

Условие. Нужно проверить, есть ли у числа 13 делители, кроме 1 и 13. Для простоты достаточно убедиться, что ни одно подходящее число не делит 13 без остатка.

1. Числа 1 и 13 являются делителями 13.
2. Проверяем деление на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12. Ни одно из них не делит 13 без остатка.
3. Дополнительного делителя нет, поэтому всего делителей два.

Ответ: 13 — простое число.

Задача 2. Определить, является ли число 24 составным, и назвать несколько его делителей

Условие. Нужно найти у числа 24 хотя бы один делитель, кроме 1 и 24. Удобнее всего проверить деление на небольшие числа, например на 2 и 3.

1. 24 делится на 2 без остатка: 24 : 2 = 12.
2. Значит, 2 — дополнительный делитель, поэтому 24 уже нельзя считать простым.
3. Другие делители можно получить так: 24 : 3 = 8, 24 : 4 = 6. Полный список делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Ответ: 24 — составное число; его делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

Задача 3. Распределить числа 1, 2, 9, 17 и 25

Условие. Нужно разделить числа на простые, составные и те, которые не относятся ни к одному из этих видов. Для каждого числа применяем правило о количестве делителей и отдельно проверяем единицу.

1. Число 1 имеет только один делитель, поэтому не является ни простым, ни составным.
2. Число 2 имеет делители 1 и 2, значит, оно простое.
3. Число 9 делится на 3, а 25 делится на 5. У обоих есть дополнительный делитель, поэтому они составные.
4. Число 17 не делится без остатка на числа от 2 до 16, значит, его делители только 1 и 17.

Ответ: простые — 2 и 17; составные — 9 и 25; ни к простым, ни к составным — 1.

Типичные ошибки

Число 1 иногда называют простым, потому что оно делится на 1. Ошибка появляется, если забыть слово «ровно»: у простого числа должно быть два делителя. Проверьте, есть ли у числа и 1, и ещё один делитель — само число.

Некоторые считают все нечётные числа простыми. Нечётность говорит только об отсутствии деления на 2, но число может делиться на 3, 5 или другое число. Например, 9 и 15 нечётные, но составные.

Иногда число называют составным только потому, что оно больше 2. Размер числа сам по себе ничего не доказывает: сначала найдите дополнительный делитель. Например, 17 больше 2, но является простым.

При подсчёте делителей забывают 1 или само число. Единица делит любое натуральное число, а каждое число делится на себя без остатка. Записывайте эти два делителя первыми, а затем ищите остальные.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно уметь выполнять деление без остатка и находить делители натурального числа. Эти навыки позволяют быстро проверять признаки простоты и составности.

Простые числа нужны при разложении составных чисел на простые множители. Такое разложение помогает увидеть, из каких простых множителей состоит число.

Знание простых и составных чисел используется при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти действия встречаются при работе с делимостью и дробями.

Что запомнить

• Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
• Составное число имеет более двух делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• Любое чётное число, большее 2, является составным.
• Чтобы доказать, что число составное, достаточно найти у него дополнительный делитель.
• Единица является делителем любого натурального числа.