Арифметические действия с целыми числами

Определения и обозначения

Целое число — это положительное число, отрицательное число или нуль. К целым относятся, например, 8, −8 и 0, а числа между ними, например ½, целыми не являются. Целые числа можно представить на координатной прямой: нуль находится в середине, положительные числа — справа от него, отрицательные — слева. Это понятие нужно, чтобы описывать числа не только больше нуля, но и меньше него.

Сложение целых чисел — действие, результат которого называют суммой. Числа, которые складывают, называются слагаемыми: в записи −3 + 7 числа −3 и 7 — слагаемые. Сложение помогает объединить два значения, например изменения температуры или долга и пополнения. Чтобы найти сумму, важно учитывать не только величины чисел, но и их знаки.

Вычитание целых чисел — действие, обратное сложению. В записи 9 − 4 число 9 называют уменьшаемым, 4 — вычитаемым, а результат — разностью. Вычитание отвечает на вопрос, какое число нужно прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое. Такое понимание помогает выполнять вычитание и с отрицательными числами.

Умножение и деление целых чисел — действия, при которых нужно следить за знаками чисел. Числа, которые умножают, называют множителями, а результат — произведением; результат деления называют частным. Например, в записи (−3) · 4 множители — −3 и 4. Правило знаков позволяет определить, будет результат положительным или отрицательным.

Как это устроено

На координатной прямой числа увеличиваются слева направо. Поэтому число справа всегда больше числа слева: например, −2 больше −5, хотя его модуль меньше. Нуль разделяет положительные и отрицательные числа. Такая прямая помогает представить, в какую сторону меняется значение при сложении или вычитании.

Если слагаемые имеют одинаковые знаки, их положения на прямой направлены в одну сторону от нуля. Поэтому складывают модули, а знак оставляют общим: −4 + (−3) = −7, потому что 4 + 3 = 7 и оба числа отрицательные. Аналогично 4 + 3 = 7. Модуль показывает расстояние до нуля, а знак — сторону, на которой находится результат.

При разных знаках одно число как бы ведёт вправо, а другое — влево. Часть пути в противоположных направлениях взаимно сокращается, поэтому из большего модуля вычитают меньший. Знак оставляют у числа с большим модулем: −9 + 5 = −4, поскольку модуль числа −9 больше 5. Если модули равны, направления полностью уравновешиваются, и сумма равна нулю.

Вычитание удобно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Противоположное число находится на таком же расстоянии от нуля, но по другую сторону. Например, 7 − 10 = 7 + (−10) = −3, а 7 − (−10) = 7 + 10 = 17. После замены можно применить знакомые правила сложения чисел с одинаковыми или разными знаками.

При умножении и делении знак результата зависит от того, совпадают ли знаки чисел. Одинаковые знаки дают плюс: (−3) · (−2) = 6 и (−12) : (−3) = 4. Разные знаки дают минус: (−3) · 2 = −6 и 12 : (−3) = −4. Деление на нуль не выполняют: нельзя найти число, которое при умножении на нуль даст ненулевое делимое.

Правила арифметических действий с целыми числами

Сначала найди в таблице нужное действие и проверь знаки чисел. Затем выполни вычисление с модулями, если это требуется, и поставь знак по правилу. В примерах знак минус у числа записан перед ним, а знак действия отделён скобками.

Разбор задач

В каждой задаче сначала определим, какое правило подходит, а затем отдельно проверим знак и числовой результат. При вычислении выражения с несколькими действиями важно соблюдать порядок: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Скобки помогают увидеть, к какому числу относится знак. Запись каждого шага делает ход решения понятным и помогает найти ошибку.

Вычислить сумму −4 + (−3)

1. Оба слагаемых отрицательные, значит, у них одинаковые знаки.
2. Сложим модули: 4 + 3 = 7.
3. Сохраним общий знак минус: −4 + (−3) = −7.

Ответ: −7. Число получилось отрицательным, потому что оба слагаемых показывают движение в сторону чисел меньше нуля.

Вычислить −9 + 5 и изобразить действие на координатной прямой

1. Модули слагаемых равны 9 и 5; больший модуль — у числа −9.
2. Вычтем меньший модуль из большего: 9 − 5 = 4.
3. Поставим знак числа с большим модулем: −9 + 5 = −4. На прямой начнём в точке −9 и пройдём 5 единиц вправо; окажемся в точке −4.

Ответ: −4. Проверка по прямой подтверждает знак: от −9 мы сдвинулись к нулю, но не дошли до него.

Вычислить значение выражения (−18) : 3 + 2 · (−4)

1. Сначала выполним деление и умножение, поскольку они имеют более высокий порядок, чем сложение.
2. Вычислим частное: (−18) : 3 = −6. Знаки разные, поэтому результат отрицательный.
3. Вычислим произведение: 2 · (−4) = −8. Знаки разные, значит, результат тоже отрицательный.
4. Сложим −6 и −8: модули дают 6 + 8 = 14, общий знак минус.

Ответ: −14. Сначала были выполнены деление и умножение, а два полученных отрицательных числа сложены по правилу одинаковых знаков.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули. Так поступают, перенося правило для одинаковых знаков на другой случай. Например, для −9 + 5 нужно вычесть 5 из 9, а не получить 14. Проверь себя: если направления противоположны, часть значений сокращается, поэтому модули не складывают.

Другая ошибка — поставить знак числа с меньшим модулем. Она возникает, когда знак выбирают по последнему слагаемому, а не сравнивают величины чисел. В сумме −9 + 5 знак будет минус, потому что 9 больше 5. Перед записью ответа сравни модули и проверь, какое число дальше от нуля.

При вычитании отрицательного числа можно забыть заменить действие сложением противоположного. Например, 6 − (−2) — это 6 + 2, а не 6 − 2. Ошибка появляется, если знак минус внутри скобок не замечают. Для проверки перепиши вычитание в виде сложения: перед вычитаемым поменяй знак, затем вычисляй сумму.

При умножении или делении иногда считают, что результат всегда положительный. Это неверно: результат зависит от знаков обоих чисел. Например, −3 · 2 и 12 : (−3) дают отрицательный результат, потому что знаки разные. Перед вычислением модулей отдельно определи знак, а после вычисления проверь, что деление не выполняется на нуль.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся знания о натуральных числах и нуле, а также о положительных и отрицательных числах. Нужно уметь находить модуль числа: это расстояние от числа до нуля, поэтому модуль не бывает отрицательным. Координатная прямая помогает сравнивать числа и представлять сложение как движение. Если эти понятия знакомы, правила действий легче понять и проверить.

Действия с целыми числами используются при вычислении числовых выражений и решении уравнений. Например, при упрощении выражения сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание, соблюдая правила знаков. В уравнении вычисления помогают находить неизвестное число и проверять ответ подстановкой. Поэтому аккуратная запись действий нужна и в следующих математических темах.

Что запомнить

• Целые числа включают положительные числа, отрицательные числа и нуль.
• При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют знак.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего.
• При вычитании прибавляют число, противоположное вычитаемому.
• Одинаковые знаки при умножении и делении дают положительный результат.
• Разные знаки при умножении и делении дают отрицательный результат.
• На нуль делить нельзя.