Простые и составные числа

Определения и обозначения

Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 3 — делитель числа 12, потому что 12 : 3 = 4. По делителям можно узнать, на какие части число делится поровну. Это помогает определить вид числа.

Простое число — натуральное число, большее 1, имеющее только два делителя: 1 и само себя. Например, у числа 7 делители — 1 и 7. Поэтому оно простое. Такое определение помогает не путать простые числа с числами, у которых есть другие делители.

Составное число — натуральное число, большее 1, имеющее более двух делителей. Например, у числа 6 есть делители 1, 2, 3 и 6. Значит, 6 составное. Если найден делитель, отличный от 1 и самого числа, этого уже достаточно, чтобы сделать такой вывод.

Число 1 — особое натуральное число, которое не является ни простым, ни составным. У него только один делитель — 1, а не два и не больше двух. Поэтому оно не подходит ни под одно из двух определений. Это правило нужно помнить отдельно, проверяя числа.

Как это устроено

Чтобы определить, простое число или составное, составь список его делителей. Начни с 1 и самого числа, затем проверь, делится ли оно без остатка на другие натуральные числа. Если других делителей нет, число простое. Если нашёлся хотя бы один дополнительный делитель, число составное.

У простого числа ровно два делителя, потому что 1 делит любое натуральное число, а само число делится на себя. Других делителей по определению быть не должно. У составного числа есть ещё хотя бы один делитель, поэтому вместе с 1 и самим числом их уже больше двух. Например, 8 делится на 2 и 4, значит, оно составное.

Каждое натуральное число, большее 1, относится к простым или составным. У такого числа в любом случае есть делители 1 и оно само. Если других делителей нет, число простое; если они есть — составное. Эти два случая охватывают все числа больше 1, поэтому третьего вида здесь не требуется.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным, потому что у него только один делитель. Для простого числа требуется ровно два делителя, а составное должно иметь больше двух. Один делитель не соответствует ни одному из условий. Отдельное правило для единицы не позволяет ошибочно включить её в список простых чисел.

Составное число можно представить в виде произведения меньших натуральных чисел. Например, 12 = 3 · 4, и оба множителя меньше 12. Такая запись показывает, что 12 делится на числа, отличные от 1 и 12, а значит, оно составное. Если продолжать разложение множителей, можно получить произведение простых чисел.

Сравнение простых и составных чисел

Сравнивай число с признаками в таблице, начиная с условия «больше 1». Затем посчитай делители или попробуй представить число произведением двух меньших натуральных чисел. Число 1 не подходит ни к одному столбцу, поскольку для него указано отдельное правило.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из чисел 1, 2, 7, 10, 13 являются простыми, а какие — составными. Проверим делители каждого числа, не забывая, что единица — исключение. Если у числа больше двух делителей, оно составное. Если делителей ровно два, оно простое.

1. Число 1 имеет только один делитель — 1. Оно не простое и не составное.
2. У числа 2 делители 1 и 2. Других делителей нет, поэтому 2 простое.
3. У числа 7 делители 1 и 7. Оно простое.
4. Число 10 делится на 2 и 5, кроме 1 и 10. Значит, оно составное.
5. У числа 13 нет делителей, кроме 1 и 13. Оно простое.

Ответ: простые числа — 2, 7 и 13; составное — 10; число 1 не относится ни к простым, ни к составным. При проверке полезно сразу искать делитель между 1 и самим числом: его наличие показывает, что число составное.

Задача 2. Выписать все делители числа 18 и определить, простое оно или составное. Удобно искать делители парами множителей: если 18 делится на одно число, частное будет вторым множителем. Так список получится полным и в него не попадут числа, которые не делят 18 без остатка.

1. Начинаем с пары 1 и 18: 1 · 18 = 18.
2. Проверяем 2: 2 · 9 = 18, значит, 2 и 9 — делители.
3. Проверяем 3: 3 · 6 = 18, значит, 3 и 6 — делители.
4. Других пар нет: проверка чисел дальше повторяла бы уже найденные пары в обратном порядке.
5. Записываем делители по порядку: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Их больше двух, значит, 18 составное.

Ответ: делители числа 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18; число 18 составное. Пары множителей помогают не забыть делители и сразу увидеть запись 18 = 2 · 9 или 18 = 3 · 6.

Задача 3. Разложить число 60 на простые множители и объяснить, почему оно составное. Простые множители — это простые числа, произведение которых даёт исходное число. Разделим 60 на простые делители, а затем продолжим раскладывать полученные составные множители, пока не останутся только простые числа.

1. 60 делится на 2: 60 = 2 · 30.
2. 30 тоже делится на 2: 30 = 2 · 15. Получаем 60 = 2 · 2 · 15.
3. 15 делится на 3: 15 = 3 · 5. Оба числа простые.
4. Записываем разложение: 60 = 2 · 2 · 3 · 5.
5. Число 60 составное, потому что его можно представить, например, как 2 · 30 — произведение двух меньших натуральных чисел.

Ответ: 60 = 2 · 2 · 3 · 5; число 60 составное. В разложении все множители простые, а произведение двух меньших чисел сразу подтверждает составной характер исходного числа.

Типичные ошибки

Число 1 называют простым, потому что оно делится на 1. Но для простого числа нужны два разных делителя: 1 и само число; у единицы это одно и то же число. Ошибка возникает, если забыть слово «два» в определении. Проверь, сколько различных делителей у числа: у 1 он только один.

Иногда считают, что любое чётное число составное. Это почти верно, но у числа 2 есть только делители 1 и 2, поэтому оно простое. Остальные чётные числа больше 2 делятся на 2 и имеют больше двух делителей. Проверяй не только чётность, но и количество делителей.

В списке делителей могут забыть само число или единицу. Так происходит, когда проверяют только деление на числа внутри промежутка. Но 1 и само число всегда делят его без остатка. Перед выводом проверь, что оба делителя включены, а пары множителей дают исходное число.

В разложении на простые множители иногда записывают составной множитель, например 12 = 3 · 4. Равенство верное, но 4 — составное число, поэтому разложение на простые множители ещё не закончено. Ошибка возникает из-за путаницы между любыми множителями и простыми. Проверь каждый множитель: у него должно быть ровно два делителя, иначе продолжи разложение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать натуральные числа, деление без остатка, делители и кратные. Новое умение пригодится, когда нужно раскладывать числа на простые множители, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Это помогает упрощать задачи с делимостью и вычислениями. Знание простых чисел также позволяет выбирать числа для проверки делимости и сокращать вычисления с натуральными и дробными числами.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
• Составное число больше 1 и имеет более двух делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Число 2 — наименьшее простое число и единственное чётное простое число.
• Если число можно представить произведением двух меньших натуральных чисел, оно составное.
• Любое натуральное число, большее 1, является простым или составным.
• Составное число можно разложить на простые множители.