Построение параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Например, противоположные стороны тетрадного листа имеют одно направление и не встречаются. Это определение помогает отличить параллельные прямые от просто непересекающихся отрезков.

Обозначение параллельности — запись a ∥ b, где a и b — названия прямых. Знак ∥ читают так: прямая a параллельна прямой b. Такая запись коротко показывает связь между двумя прямыми на чертеже.

Точка вне прямой — это точка, которая не принадлежит данной прямой. Обычно её называют, например, точкой A и используют как место, через которое нужно провести новую линию. Условие о точке вне прямой нужно потому, что именно для такой точки выполняют построение параллельной прямой.

Построение параллельной прямой — это последовательность действий с линейкой и чертёжным угольником. Через заданную точку проводят прямую, которая сохраняет направление исходной прямой. Точное выполнение каждого шага нужно, чтобы получился правильный результат, а не просто похожая линия.

Как это устроено

Угольник используют не случайно: его стороны образуют постоянный угол, поэтому при сохранении его положения направление стороны не меняется. Если одну сторону угольника совместить с данной прямой, другая сторона будет иметь всегда одно и то же направление относительно неё. Именно это направление нужно перенести к точке вне прямой.

Сначала одну сторону угольника прикладывают к прямой a так, чтобы сторона и прямая совпали. К другой стороне угольника плотно прижимают линейку. Линейка нужна как направляющая: она удерживает угольник от поворота, когда тот будет двигаться. Если угольник повернётся, его сторона уже задаст другое направление.

Теперь угольник передвигают вдоль края неподвижной линейки до заданной точки A. При таком движении угольник скользит, но не вращается, поэтому его сторона остаётся параллельной прежнему положению. Это и есть причина, по которой новая линия сохраняет направление прямой a. Двигать нужно только угольник, а линейку оставлять на месте.

После перемещения через точку A проводят прямую по нужной стороне угольника. Получается прямая b, направленная так же, как a. При пересечении этих прямых линейкой и угольником образуются соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение. Они равны, потому что сторона угольника сохранила своё положение.

Равенство соответственных углов подтверждает, что прямые a и b параллельны. Дополнительно можно мысленно продолжить обе прямые в разные стороны: они не должны встретиться. Расстояние между параллельными прямыми в любом месте остаётся постоянным, поэтому проверяют также, не сближаются ли линии и не расходятся ли они.

Построение прямой, параллельной данной

Пользуйся таблицей как короткой инструкцией: переходи к следующему этапу только после правильного выполнения предыдущего. Особенно внимательно следи за третьим шагом, потому что линейка должна оставаться неподвижной. В конце обязательно проверь направление и положение обеих прямых.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Дана прямая a и точка A вне неё. Проведите через точку A прямую b, параллельную прямой a. Нужно не измерить расстояние, а перенести направление данной прямой с помощью инструментов.

1. Приложим одну сторону угольника к прямой a.
2. К другой стороне угольника прижмём линейку и удержим её на месте.
3. Передвинем угольник вдоль линейки, пока его сторона не пройдёт через точку A.
4. Проведём через A прямую b по стороне угольника.
5. Проверим, что линейка не смещалась, а прямые имеют одинаковое направление.

Ответ: через точку A построена прямая b, причём a ∥ b.

Задача 2

Условие: На рисунке изображены прямая a и точка A. Через A проведено несколько прямых. Нужно определить, какая из них параллельна a. Сравнивать следует не длину линий, а их направление.

1. Мысленно продолжим прямую a и каждую линию, проведённую через A.
2. Исключим линии, которые при продолжении пересекутся с a или будут постепенно удаляться от неё.
3. Выберем линию с тем же направлением, что и a.
4. При возможности проверим, равны ли соответственные углы, образованные линиями.

Ответ: параллельна a та прямая через A, которая имеет одинаковое с a направление, не пересекается с ней при продолжении и сохраняет постоянное расстояние.

Задача 3

Условие: Постройте через точки A и B прямые, параллельные соответственно прямым a и b, а затем определите, какие из полученных прямых параллельны между собой. Здесь один и тот же алгоритм нужно применить дважды.

1. С помощью линейки и угольника построим через A прямую c, параллельную a.
2. Отдельно установим инструменты по прямой b и построим через B прямую d, параллельную b.
3. Сравним направление c с направлением d, продолжив их мысленно в обе стороны.
4. Если линии не пересекаются и расстояние между ними постоянно, запишем c ∥ d.

Ответ: полученные прямые c и d параллельны между собой тогда и только тогда, когда исходные прямые a и b имеют одинаковое направление.

Типичные ошибки

Линию проводят через точку без фиксации линейки. Угольник при этом может повернуться, поэтому новая прямая получит другое направление. Проверь себя: перед проведением линии убедись, что линейка неподвижна и плотно прилегает к угольнику.

Иногда ученик передвигает угольник вместе с линейкой. Тогда направляющая сама смещается, и сохранить исходное направление невозможно. Двигай только угольник, а линейку удерживай рукой на одном месте.

Прямая может пройти рядом с точкой, но не через неё. Ошибка появляется, если смотреть только на край угольника и не контролировать положение точки. Перед проведением линии проверь, что точка A лежит прямо на выбранной стороне угольника.

Две линии считают параллельными только потому, что на коротком рисунке они не пересекаются. Однако при продолжении они могут встретиться. Мысленно продолжи прямые, сравни их направление и проверь постоянство расстояния между ними.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое прямая, точка и отрезок, а также различать пересекающиеся и перпендикулярные прямые. Понадобится и навык работы с линейкой и чертёжным угольником.

Построение параллельных прямых используется при создании фигур с параллельными сторонами. Так строят прямоугольник, квадрат и параллелограмм.

Позже параллельные прямые помогут изучать углы, образованные секущей, и свойства геометрических фигур. Их направление и равенство углов будут использоваться в новых доказательствах.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются.
• Параллельность обозначают знаком ∥.
• Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной.
• При построении угольник передвигают вдоль неподвижной линейки.
• Положение линейки нельзя менять до проведения второй прямой.
• Правильность построения проверяют по совпадению направления прямых и отсутствию их пересечения.