"Математика. Учебник для специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида*", Капустина Г.М., Перова М.Н.
Обыкновенные дроби показывают части целого. Если у дробей одинаковые знаменатели, их части имеют один и тот же размер, поэтому для сложения или вычитания достаточно выполнить действие с числителями, а знаменатель сохранить. Такой способ помогает находить общую часть величины, времени, длины или пути. После вычисления результат проверяют и при возможности сокращают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — запись части целого с помощью числителя и знаменателя, например 3/8. Она нужна, чтобы обозначать не целое число, а несколько равных частей целого.
Числитель — число над чертой дроби, показывающее, сколько равных частей взято. По числителю определяют количество выбранных частей и именно с ним выполняют сложение или вычитание.
Знаменатель — число под чертой дроби, показывающее, на сколько равных частей разделено целое. Он помогает понять размер одной части и записать, одинаковыми ли являются части в разных дробях.
Дроби с одинаковыми знаменателями — дроби, у которых знаменатели равны, например 2/9 и 5/9. В таких дробях части имеют общий размер, поэтому их можно складывать и вычитать по простому правилу.
Знаменатель показывает, на сколько одинаковых частей разделили целое. Если знаменатели равны, то одна часть в каждой дроби имеет одинаковый размер: например, 1/7 — это одна седьмая целого и в первой, и во второй дроби. Поэтому дроби 2/7 и 3/7 считают доли одного и того же размера. Это похоже на счёт одинаковых предметов: складывают количество предметов, а не их размер.
При сложении дробей 2/7 + 3/7 объединяют две седьмых и три седьмых. Получается пять таких же седьмых, то есть 5/7. Знаменатель не меняется, потому что целое по-прежнему разделено на семь частей, изменилось только количество взятых частей. Правило записывают так: a/b + c/b = (a + c)/b.
При вычитании из одной группы одинаковых частей убирают другую группу. Например, из девяти десятых можно убрать четыре десятых, и останется пять десятых. Размер части не меняется: всё целое по-прежнему разделено на десять равных частей, поэтому вычитают только числители. Правило имеет вид: a/b − c/b = (a − c)/b.
Сначала убедитесь, что знаменатели равны, и запишите действие. Затем выполните сложение или вычитание числителей, а общий знаменатель перепишите под новой чертой. После этого проверьте знак и величину результата. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, сократите дробь; если числитель не меньше знаменателя, при необходимости выделите целую часть.
Таблица показывает, какая часть дроби изменяется при каждом действии. Пользуйтесь ею после того, как убедились: знаменатели действительно одинаковые. В последней строке ищите способ проверить ответ обратным действием.
| Действие | Что делаем с числителями | Что делаем со знаменателем | Правило | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Сложение дробей | Складываем | Оставляем без изменения | a/b + c/b = (a + c)/b | 2/9 + 4/9 = 6/9 |
| Вычитание дробей | Вычитаем | Оставляем без изменения | a/b − c/b = (a − c)/b | 7/10 − 3/10 = 4/10 |
| Сокращение результата | Делим на общий делитель | Делим на тот же делитель | 6/9 = 2/3 | 6 и 9 делим на 3 |
| Проверка полученного результата | Выполняем обратное действие | Знаменатель сохраняем при проверке дробей | 2/3 + 1/3 = 1 | 1 − 1/3 = 2/3 |
Знаменатели обеих дробей равны семи, значит, части имеют одинаковый размер. Поэтому можно применить правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Полученный результат проверим по числителю: две части и ещё три части дают пять частей.
Ответ: 5/7.
Дроби имеют общий знаменатель 10, поэтому вычитаем числители. Перед вычислением проверяем порядок: 9 больше 4, значит, разность будет неотрицательной. Дробь 5/10 можно сократить, но в условии достаточно показать результат действия; при полном оформлении лучше записать и сокращённый вид.
Ответ: 1/2.
Все три дроби имеют знаменатель 12, поэтому действия можно выполнять последовательно с числителями. Сначала найдём сумму первых двух дробей, затем вычтем третью. В конце проверим, есть ли общий делитель у числителя и знаменателя.
Ответ: 1/2.
Складывают или вычитают знаменатели. Так происходит, когда правило для числителей переносят на всю дробь. Проверьте себя: знаменатель показывает размер части, поэтому при одинаковых частях он должен остаться прежним.
Изменяют знаменатель только у одной дроби. В результате части становятся разного размера, и действие теряет смысл. Сравните знаменатели до вычисления: общий знаменатель должен быть одинаковым у всех дробей.
Неверно выполняют вычитание числителей. Иногда меняют порядок чисел или считают 4 − 9 вместо 9 − 4. Сначала назовите уменьшаемое и вычитаемое, а затем проверьте, что при обычном вычитании результат неотрицателен.
Оставляют несокращённый результат или сокращают неправильно. Нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа. Найдите общий делитель и разделите на него обе части дроби одновременно.
До изучения темы нужно знать строение обыкновенной дроби, смысл числителя и знаменателя, а также уметь сравнивать и сокращать дроби. Позже эти правила пригодятся при сложении и вычитании смешанных чисел и дробей с разными знаменателями. В жизни дроби помогают находить общую часть величины, длины, времени или пути, например пройденное расстояние за несколько участков.
Почему знаменатели при сложении дробей не складывают?
Знаменатель показывает размер равных частей, а не их количество. При сложении объединяют взятые части, поэтому складывают числители, а общий размер частей оставляют прежним.
Что делать, если знаменатели дробей одинаковые?
Нужно сложить или вычесть числители, а знаменатель переписать без изменения. Затем следует проверить результат и сократить дробь, если это возможно.
Как выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями?
Из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби. Знаменатель сохраняют, а перед вычислением проверяют, что уменьшаемая дробь не меньше вычитаемой.
Можно ли сократить дробь после сложения или вычитания?
Да, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь сокращают. На этот общий делитель делят и числитель, и знаменатель.
Как проверить правильность полученного результата?
Можно выполнить обратное действие: к разности прибавить вычитаемое или из суммы вычесть одно слагаемое. Также полезно проверить, что результат неотрицателен при вычитании и не превышает целое, если это следует из условия.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями
