Сложение и вычитание смешанных чисел

Определения и обозначения

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной частей: 3 2/5. Его читают: три целых и две пятых. Такая запись удобна, когда в числе есть несколько целых единиц и ещё часть единицы. Например, 3 2/5 означает три целых предмета и ещё две пятых одного предмета.

Целая часть смешанного числа — это число единиц, стоящих перед дробной частью. В записи 7 1/8 целая часть равна 7. Она показывает, сколько целых единиц уже содержится в числе. При действиях с такими числами целые части обрабатывают отдельно от дробных.

Дробная часть смешанного числа — это правильная дробь, записанная после целой части. В числе 5 3/10 дробная часть — 3/10. Она показывает, какую долю следующей целой единицы взяли. Для вычислений с дробными частями используют обычные правила действий с дробями.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например 2/9. Она меньше единицы, поэтому подходит для записи части целой единицы в смешанном числе. Если дробь стала неправильной, её нельзя оставлять дробной частью смешанного числа. Сначала из неё выделяют целую часть.

Как это устроено

При сложении смешанных чисел отдельно складывают целые и дробные части. Это возможно потому, что смешанное число состоит из целых единиц и долей единицы. Например, целые яблоки складываются с целыми яблоками, а одинаковые доли яблока — с долями. Затем результаты соединяют в одно смешанное число.

Если знаменатели дробных частей разные, сначала находят общий знаменатель. Доли с разными знаменателями имеют разный размер, поэтому сразу складывать их нельзя. После приведения к общему знаменателю обе дроби выражаются одинаковыми долями. Только тогда можно сложить их числители и сохранить общий знаменатель.

Иногда сумма дробных частей получается неправильной дробью. Это значит, что в ней набралась одна или несколько целых единиц, а неправильная дробь неудобна как дробная часть смешанного числа. Из неё выделяют целую часть, а оставшуюся правильную дробь записывают после целой части. Выделенную единицу прибавляют к уже полученной сумме целых частей.

При вычитании сначала сравнивают дробные части уменьшаемого и вычитаемого. Если дробной части уменьшаемого хватает, её можно вычесть непосредственно. Если она меньше, вычитание долей невозможно без изменения записи числа. Поэтому одну целую единицу берут из целой части уменьшаемого и присоединяют к его дробной части.

Занятая целая единица должна быть выражена дробью с тем же знаменателем, что и дробная часть. Например, при знаменателе 6 одна целая равна 6/6, потому что целое разделено на шесть шестых. После этого числитель дробной части увеличивается на 6, а целая часть уменьшается на 1. Так получают возможность выполнить вычитание дробей.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Пользуйтесь таблицей как кратким планом решения. Сначала определите, одинаковы ли знаменатели и хватает ли дробной части при вычитании. В конце проверьте, что дробная часть ответа правильная, а выделенные целые единицы учтены.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 2 3/7 + 1 2/7. Знаменатели одинаковые, поэтому приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Сначала действуем с целыми частями, затем с долями.

1. Складываем целые части: 2 + 1 = 3.
2. Складываем дробные части: 3/7 + 2/7 = 5/7. Знаменатель оставляем 7, потому что размер долей не изменился.
3. Соединяем результаты: 3 + 5/7 = 3 5/7.

Ответ: 3 5/7. Дробь 5/7 правильная, значит, дополнительно выделять целую часть не нужно.

Задача 2. Вычислить: 3 1/4 + 2 2/3. Дробные части имеют разные знаменатели, поэтому сначала нужно выразить четверти и трети одинаковыми долями. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

1. Приводим дроби: 1/4 = 3/12, а 2/3 = 8/12.
2. Складываем целые части: 3 + 2 = 5.
3. Складываем дробные части: 3/12 + 8/12 = 11/12.
4. Соединяем результаты: 5 + 11/12 = 5 11/12.

Ответ: 5 11/12. Сумма дробей осталась правильной, поэтому новой целой единицы не появилось.

Задача 3. Вычислить: 5 1/6 − 2 5/6. Дробная часть уменьшаемого 1/6 меньше дробной части вычитаемого 5/6. Поэтому сначала занимаем одну целую единицу из пяти целых.

1. Уменьшаем целую часть: 5 − 1 = 4.
2. Представляем занятую единицу как 6/6 и прибавляем её к 1/6: 1/6 + 6/6 = 7/6.
3. Вычитаем целые части: 4 − 2 = 2.
4. Вычитаем дроби: 7/6 − 5/6 = 2/6 = 1/3.
5. Соединяем результаты: 2 + 1/3 = 2 1/3.

Ответ: 2 1/3. После сокращения дробная часть стала правильной, а занятая единица была учтена уменьшением целой части.

Типичные ошибки

Складывают или вычитают знаменатели дробей. Так делают, перенося правило действий с числителями на знаменатели, но знаменатель обозначает размер доли и обычно сохраняется. Проверьте себя: при одинаковых знаменателях меняется только числитель.

Не приводят дроби к общему знаменателю перед действием. В результате складывают или вычитают доли разного размера, например четверти и трети. Проверьте, одинаковы ли знаменатели перед вычислением дробных частей.

Не выделяют целую часть из неправильной дроби после сложения. Такая запись не показывает правильно целую и дробную части числа. Проверьте числитель: если он не меньше знаменателя, выполните выделение целой части.

При вычитании занимают единицу, но не заменяют её дробью с нужным знаменателем. Тогда к дробной части прибавляют не то количество долей и получают неверный результат. Проверьте: при знаменателе 6 занятая единица должна быть записана как 6/6.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь распознавать целую и дробную части смешанного числа, сравнивать дроби и приводить их к общему знаменателю. Также пригодится выделение целой части из неправильной дроби. Эти действия являются основой нового алгоритма.

Смешанные числа встречаются в текстовых задачах на длину, массу, время и другие величины. Например, расстояние или продолжительность могут включать целое число единиц и ещё несколько долей. Поэтому умение складывать и вычитать смешанные числа помогает переводить условие задачи в вычисления.

Позже те же приёмы понадобятся при умножении и делении смешанных чисел. Они также связаны с действиями с обыкновенными дробями. Чем увереннее выполнены приведение к общему знаменателю и преобразование смешанных чисел, тем легче будут следующие темы.

Что запомнить

• Целые и дробные части смешанных чисел складывают или вычитают отдельно.
• При разных знаменателях дробные части сначала приводят к общему знаменателю.
• Неправильную дробь после сложения преобразуют в смешанное число.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно занять одну целую.
• Занятая целая единица равна дроби, числитель которой равен знаменателю дробной части.
• В конце проверяют, что дробная часть является правильной дробью.