Многозначные числа

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами. В отличие от однозначного числа, в его записи есть две или больше позиции, и каждая может обозначать единицы разного порядка. Например, 8 — однозначное число, а 48 — многозначное: его цифры вместе обозначают сорок восемь, а не просто два отдельных знака.

Цифра — знак, которым записывают число; используются цифры от 0 до 9. Одна и та же цифра может обозначать разное количество в зависимости от своего места: например, 5 в числе 50 означает пять десятков, а в числе 5 — пять единиц. Это различие помогает понять, как устроена запись, а не просто прочитать знаки подряд.

Разряд — позиция цифры в записи числа, связанная с единицами, десятками, сотнями и дальнейшими степенями десяти. У каждой позиции есть своё название и значение: например, разряд десятков показывает, сколько в числе десятков. Определив разряд цифры, можно выяснить, какой вклад она вносит в число.

Класс — группа из трёх разрядов, которую считают справа налево. Первые три разряда образуют класс единиц, следующие три — класс тысяч, затем идёт класс миллионов. Названия классов упрощают чтение больших чисел: они помогают быстро понять, к какой группе относится каждая цифра.

Как это устроено

Десятичную запись называют так потому, что соседние разряды связаны числом 10: десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего. Так, десять единиц образуют один десяток, а десять десятков — одну сотню. Поэтому каждая следующая позиция слева показывает количество, в десять раз большее, чем соседняя справа. Эта связь позволяет компактно записывать большие количества и выполнять действия с ними.

Значение цифры определяется одновременно самой цифрой и её разрядом. В числе 505 первая пятёрка стоит в разряде сотен и означает 5 × 100 = 500, а последняя находится в разряде единиц и означает 5. Между ними стоит 0: он показывает, что десятков нет, и сохраняет правильное место последней пятёрки. Поэтому одинаковые цифры в одной записи не обязательно обозначают одинаковые количества.

Разряды объединяют в классы по три, потому что так удобнее читать и записывать длинные числа. Если начать справа, первые три цифры относятся к классу единиц, следующие три — к классу тысяч, потом — к классу миллионов. Например, число 6 040 305 делится на группы 6 | 040 | 305. Каждая группа читается как трёхзначное число, а название её класса показывает, сколько в ней миллионов, тысяч или обычных единиц.

Число можно разложить на сумму значений его разрядов. Для этого каждую ненулевую цифру умножают на значение её позиции: в числе 482 получаются 400, 80 и 2, значит, 482 = 400 + 80 + 2. Нулевые разряды тоже нужно учитывать при определении позиций, хотя слагаемого с нулём в сумме не записывают. Например, в 6 040 305 нет десятков тысяч, десятков и сотен тысяч, но эти пустые места меняют положение остальных цифр.

Чтобы прочитать число, его мысленно делят на классы по три цифры, начиная справа, а затем называют группы слева направо. У каждой ненулевой группы произносят её число и название класса: например, «шесть миллионов, сорок тысяч, триста пять». Если в классе стоят только нули, его название пропускают, поскольку он не добавляет к числу единиц этого класса. При записи числа словами части распределяют по классам и обязательно ставят нули в пропущенные разряды.

Разряды многозначного числа

Чтобы определить разряд цифры, отсчитывай позиции от конца записи: первая справа — единицы, вторая — десятки и так далее. Название класса определяется тем, в какой тройке находится разряд. Например, четвёртая цифра справа относится к классу тысяч и обозначает тысячи.

Столбец со значением показывает, сколько составляет одна единица данного разряда. Умножь это значение на цифру в позиции — получишь её вклад в число. Например, цифра 4 в разряде десятков тысяч означает 40 000.

Разбор задач

Задача 1. Прочитать число 482 и назвать, сколько в нём сотен, десятков и единиц. Сначала определим разряды цифр, начиная справа: последняя цифра относится к единицам, следующая — к десяткам, а третья — к сотням. Каждая цифра сообщает, сколько единиц соответствующего разряда содержится в числе.

1. Цифра 2 стоит в разряде единиц, значит, в числе 2 единицы.
2. Цифра 8 стоит в разряде десятков, значит, в числе 8 десятков.
3. Цифра 4 стоит в разряде сотен, значит, в числе 4 сотни.

Читаем число как «четыреста восемьдесят два». Его разрядный состав можно проверить равенством 482 = 400 + 80 + 2: сумма разрядных значений снова даёт исходное число. Ответ: четыреста восемьдесят два; 4 сотни, 8 десятков и 2 единицы.

Задача 2. Записать цифрами число «триста семь тысяч двадцать четыре». Сначала разделим названные части по классам: «триста семь тысяч» — это класс тысяч, а «двадцать четыре» — класс единиц. В каждой группе должно быть по три позиции, поэтому недостающие разряды нужно заполнить нулями, а не оставлять незаписанными.

1. Записываем класс тысяч: «триста семь» — это 307.
2. Записываем класс единиц: «двадцать четыре» — это 24, то есть в трёх позициях класса будет 024.
3. Соединяем группы слева направо и отделяем их пробелом: 307 024.

Проверяем разряды: в числе есть 3 сотни тысяч, 0 десятков тысяч, 7 тысяч, 0 сотен, 2 десятка и 4 единицы. Нули сохраняют места отсутствующих десятков тысяч и сотен, поэтому запись не превращается в другое число. Ответ: 307 024.

Задача 3. Представить число 6 040 305 в виде суммы разрядных слагаемых и прочитать его. Разобьём запись на классы: 6 | 040 | 305. Затем определим значения ненулевых цифр; нули не дают слагаемых, но помогают сохранить правильные разряды остальных цифр.

1. В классе миллионов цифра 6 означает 6 000 000.
2. В классе тысяч цифра 4 стоит в разряде десятков тысяч и означает 40 000.
3. В классе единиц цифра 3 означает 300, а цифра 5 — 5 единиц.
4. Складываем ненулевые разрядные значения: 6 040 305 = 6 000 000 + 40 000 + 300 + 5.

При чтении называем классы слева направо, пропуская класс единиц тысяч, если он состоит из нулей; здесь, однако, класс тысяч содержит число 040, то есть 40 тысяч. Ответ: сумма разрядных слагаемых — 6 000 000 + 40 000 + 300 + 5; читается «шесть миллионов сорок тысяч триста пять».

Типичные ошибки

Читать цифры подряд, не учитывая их разряды, — значит перечислять знаки, а не называть число. Так теряется смысл записи: например, 482 — это не «четыре, восемь, два», а четыреста восемьдесят два. Ошибка возникает, если внимание сосредоточено только на цифрах. Проверяй себя разложением на сотни, десятки и единицы или чтением по классам.

Если пропустить нули внутри записи, цифры сдвинутся в другие разряды и получится другое число. Например, 5 007 и 5 070 отличаются тем, где расположен ноль и какой разряд занимает цифра 7. Нули иногда считают ненужными, потому что они ничего не прибавляют как цифры, но в записи они обозначают пустые позиции. Проверяй, чтобы у каждой цифры сохранилось исходное место.

Неверное деление на классы возникает, когда группы начинают считать слева или отделяют не по три цифры. Тогда число может быть прочитано неправильно или названы не те классы. Причина обычно в том, что забывают направление отсчёта. Чтобы проверить запись, отсчитывай справа налево и отделяй цифры тройками, оставляя в первой слева группе одну, две или три цифры.

При чтении нельзя произносить название класса, состоящего из нулей, но нельзя и пропускать ненулевой класс. Ошибка появляется, если читать группы механически или не заметить, что в одной из них есть цифры. Проверяй каждую тройку слева направо: если она равна 000, название не нужно; если в ней есть ненулевые цифры, назови её и соответствующий класс.

Связь с другими темами

Для работы с многозначными числами нужны знания о натуральных числах, цифрах и счёте десятками и сотнями. Понимание разрядного состава помогает сравнивать числа: сначала смотрят, сколько в них разрядов, а затем сравнивают цифры в одинаковых позициях. Те же знания используют при округлении и письменном сложении и вычитании, чтобы правильно располагать разряды.

Деление на классы помогает читать большие числа, встречающиеся в задачах из других разделов математики и в повседневной жизни. Разрядный состав позволяет проверить, правильно ли число записано словами или цифрами. Нули и названия классов помогают не перепутать, например, тысячи с миллионами.

Что запомнить

• Многозначное число записывают несколькими цифрами.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• Десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего разряда.
• Классы состоят из трёх разрядов и считаются справа налево.
• Нули сохраняют места пустых разрядов.
• При чтении число называют по классам слева направо.