Многозначные числа

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное двумя или более цифрами. Например, 7 — однозначное число, а 24 — многозначное. Это различие помогает понять, что запись числа может содержать несколько разрядов, каждый со своим значением.

Цифра — знак, с помощью которого записывают число; используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра сама по себе не сообщает, сколько единиц она обозначает в конкретном числе: это зависит от её места. Поэтому цифру и её значение в записи нужно различать.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Справа налево идут разряды единиц, десятков и сотен: в числе 582 цифра 2 стоит в разряде единиц, 8 — десятков, 5 — сотен. Название разряда показывает, сколько единиц соответствующего порядка обозначает цифра.

Класс — группа из трёх разрядов, которую считают справа налево. Первые три места образуют класс единиц, следующие — класс тысяч, затем идёт класс миллионов. Деление на классы помогает не потеряться в длинной записи и правильно прочитать число.

Как это устроено

Запись называют позиционной, потому что одна и та же цифра может обозначать разное количество единиц в зависимости от места. Например, в числе 555 справа она означает пять единиц, посередине — пять десятков, слева — пять сотен. Если бы значение не зависело от положения, одной записью нельзя было бы удобно показывать числа разной величины.

Разряды связаны с десятичной системой счисления: каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего. Десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню, а десять сотен — одну тысячу. Поэтому цифра 4 в разряде сотен обозначает 400, а в разряде десятков — 40.

Чтобы прочитать длинное число, запись делят справа налево на группы по три цифры. Затем группы называют слева направо: сначала количество единиц в старшем классе и название класса, после — следующий класс и класс единиц. Например, 23 417 читают как «двадцать три тысячи четыреста семнадцать»; пустой класс единиц отдельно не называют.

Чтобы записать число по названию, сначала определяют, сколько единиц содержится в каждом названном классе. Каждую группу записывают тремя цифрами, добавляя слева нули, если в ней меньше трёх разрядов; самый левый класс может быть короче. Неназванные разряды и классы тоже нужно учитывать: на их местах ставят нули, иначе цифры окажутся в других разрядах.

Представить число как сумму разрядных слагаемых — значит сложить значения всех его цифр. Для этого каждую цифру умножают на разрядную единицу: например, цифра в разряде сотен даёт число сотен, а в разряде тысяч — число тысяч. Слагаемые с нулевыми цифрами равны нулю, поэтому их обычно не записывают, но сами нули в исходном числе сохраняют места остальных цифр.

Разряды и классы многозначного числа

В таблице показано, как соотносятся место цифры, название разряда и его разрядная единица. Примеры значения помогают увидеть, что одна и та же цифра в разных местах означает разное количество.

Чтобы определить значение цифры, найди её разряд и умножь цифру на разрядную единицу. Для чтения больших чисел сначала найди класс, а затем разряд внутри него.

Разбор задач

Задача 1. Назовите количество десятков и сотен в числе 4 582.

1. Разряды в числе справа налево: 2 единицы, 8 десятков, 5 сотен, 4 тысячи.
2. Цифра 8 показывает восемь десятков в разрядной записи, но вопрос о количестве десятков во всём числе. В 4 582 содержится 458 полных десятков.
3. Цифра 5 показывает сотни в разрядной записи, а общее число полных сотен равно 45.

Ответ: 458 десятков и 45 сотен. Так мы не смешиваем цифру в разряде с количеством единиц этого порядка во всём числе.

Задача 2. Запишите цифрами число «триста семь тысяч сорок два».

1. Разделим название на классы: «триста семь тысяч» — класс тысяч, «сорок два» — класс единиц.
2. Класс тысяч равен 307. В классе единиц число 42, поэтому для трёхразрядной группы записываем 042: сотен нет, есть 4 десятка и 2 единицы.
3. Соединим группы, сохранив ноль в классе единиц: 307 042.

Ответ: 307 042. Ноль нужен, чтобы показать отсутствие сотен в классе единиц и оставить десятки и единицы на правильных местах.

Задача 3. Представьте число 508 306 в виде суммы разрядных слагаемых и объясните роль нулей.

1. Разделим число на классы: 508 тысяч и 306 единиц.
2. Определим значения ненулевых цифр: 5 сотен тысяч — 500 000, 8 тысяч — 8 000, 3 сотни — 300, 6 единиц — 6.
3. Сложим значения: 500 000 + 8 000 + 300 + 6.

Ответ: 508 306 = 500 000 + 8 000 + 300 + 6. Ноль в разряде десятков тысяч показывает, что таких единиц нет, а ноль в разряде десятков внутри класса единиц удерживает цифру 6 на месте единиц.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что цифра везде имеет одно значение. Например, цифра 5 в числе 505 обозначает сотни и единицы, потому что стоит в разных разрядах. Так ошибаются, когда смотрят только на сам знак; проверьте себя, назвав разряд каждой цифры и умножив её на разрядную единицу.

При записи числа словами иногда пропускают нули внутри класса, например записывают 307 042 как 37 42 или 307 42. Это происходит, если записывать услышанные цифры подряд, не учитывая отсутствующие разряды. Разделите число на классы и убедитесь, что в каждом классе, кроме самого левого, три места.

Нельзя делить длинную запись на классы слева направо: размер групп зависит от правого края числа. Иначе границы классов сдвинутся, и число будет прочитано неверно. Проверка простая: начинайте от последней цифры и отделяйте по три разряда влево.

Цифра десятков не равна общему количеству десятков в числе: в 4 582 цифра десятков равна 8, но полных десятков — 458. Путают эти понятия, потому что оба ответа связаны с десятками. Чтобы проверить ответ, вспомните: цифра показывает разрядное значение, а количество десятков во всём числе получается при делении числа на 10 без остатка.

Связь с другими темами

Для работы с многозначными числами нужно знать цифры от 0 до 9, понимать порядок натуральных чисел и смысл сложения одинаковых разрядных единиц. Например, десять десятков можно заменить одной сотней, а несколько разрядных слагаемых — сложить, чтобы получить число. Разрядное строение пригодится при сравнении чисел: сначала сравнивают старшие разряды, а также при округлении и письменных вычислениях. Позже тот же принцип поможет понять запись десятичных дробей и значение цифр после запятой.

Что запомнить

• Многозначное число записывают несколькими цифрами.
• В десятичной позиционной записи значение цифры зависит от её места.
• Соседние разряды отличаются в 10 раз.
• Классы состоят из трёх разрядов и считаются справа налево.
• Нули в записи показывают отсутствие единиц соответствующих разрядов.
• Число можно представить как сумму разрядных слагаемых.