"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать предметы, измерять величины, сравнивать результаты и описывать изменения. По мере появления новых задач расширяются и числовые множества: от натуральных чисел переходят к целым, рациональным и действительным. Координатная прямая показывает, какое число больше и как далеко оно от нуля. Понимание видов чисел, правил действий, дробей и процентов помогает не только решать примеры, но и проверять, разумен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их записывают цифрами, а последовательность 1, 2, 3, … называют натуральным рядом; в некоторых соглашениях его начинают с нуля. Это множество удобно, когда нужно посчитать целые предметы или указать их количество.
Целые числа — это натуральные числа, ноль и противоположные натуральным числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Их располагают на координатной прямой: ноль служит началом отсчёта, положительные числа идут вправо, отрицательные — влево. Целые числа нужны, например, чтобы обозначать не только прибавление, но и убыток или температуру ниже нуля.
Рациональные числа — числа, которые можно записать дробью m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. К ним относятся обыкновенные дроби, целые числа и десятичные дроби с конечной или периодической записью, например 0,25 или 0,(3). Такое множество позволяет выражать части единицы и выполнять деление с точным результатом.
Действительные числа — рациональные и иррациональные числа вместе; каждому из них соответствует точка на числовой прямой. Иррациональное число нельзя представить дробью m/n, например √2. Действительные числа нужны для описания любых точных величин, которые можно отметить на этой прямой.
Числовые множества расширяются потому, что новые задачи требуют чисел, которых не было в прежнем наборе. При вычитании большего натурального числа из меньшего ответ уже не натуральный, поэтому вводят отрицательные числа и получают целые. Деление целых чисел не всегда даёт целое число, например 1 : 2 = ½, поэтому нужны рациональные числа. Наконец, длина диагонали квадрата со стороной 1 равна √2 и не выражается рациональной дробью, поэтому рассматривают действительные числа.
Число на координатной прямой сравнивают по его положению: точка правее соответствует большему числу. Это правило работает и для отрицательных чисел, поэтому −2 больше −5: −2 находится правее. Расстояние от точки числа до нуля называют модулем и обозначают вертикальными чертами, например |−4| = 4. Модуль показывает величину расстояния без учёта направления.
Знак числа влияет на результат действий, потому что он указывает направление относительно нуля. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют знак, а при разных знаках вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют сложением противоположного: например, 5 − (−2) = 5 + 2. При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный; делить на ноль нельзя, поскольку не существует числа, произведение которого на ноль дало бы ненулевое делимое.
Одна величина может иметь разные записи, потому что дробь, десятичная дробь и процент выражают одно и то же отношение или часть целого. Например, ¾ = 0,75 = 75%: чтобы перевести дробь в десятичную запись, числитель делят на знаменатель, а для процентов умножают число на 100%. Обратный переход тоже возможен: 15% = 15/100 = 0,15. Выбирать форму записи удобно по задаче: дроби помогают складывать доли, десятичная запись — сравнивать и считать, а проценты — описывать части от ста.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение все понимали одинаково: сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, после этого — сложение и вычитание. Умножение и деление одного уровня выполняют слева направо, так же поступают со сложением и вычитанием. Свойства операций помогают упростить вычисления: например, перестановка слагаемых не меняет сумму. Предварительная оценка позволяет заметить ошибку: если числа около 20 умножают на 3, результат не может оказаться около 5.
| Характеристика | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Действительные числа |
|---|---|---|---|---|
| Обозначение множества | ℕ | ℤ | ℚ | ℝ |
| Какие числа входят | Числа для счёта; начало ряда зависит от соглашения | Натуральные, ноль и отрицательные целые | Числа вида m/n, где m ∈ ℤ, n ≠ 0 | Рациональные и иррациональные числа |
| Пример числа | 7 | −4 | ⅔ | √2 |
| Связь с координатной прямой | Точки справа от нуля | Точки с целыми координатами | Точки рациональных чисел | Каждой точке прямой соответствует действительное число |
| Можно ли выполнить сложение и умножение без выхода из множества | Да | Да | Да | Да |
| Основные формы записи | Цифрами | Цифрами со знаком или без него | Дробью, конечной или периодической десятичной дробью | Дробью или десятичной записью; для иррациональных — также корнем и другими обозначениями |
| Что важно учитывать при вычислениях | Вычитание и деление могут вывести за пределы множества | Деление может дать нецелый результат | Знаменатель дроби не равен нулю | Соблюдают порядок действий и правила знаков |
Таблица показывает, что каждое следующее множество включает предыдущее: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Сначала определите, к какому множеству относится число, а затем проверьте, останется ли результат действия в нём. Например, сумма и произведение натуральных чисел натуральны, но их разность не всегда натуральна.
Задача 1. Расположить по возрастанию числа −3, 0, 2,5 и ½, а затем определить, к каким множествам относится каждое. Чтобы сравнить дробь и десятичную запись, удобно привести их к общему виду: ½ = 0,5. Отрицательное число будет левее нуля, а положительные числа можно сравнить по десятичной записи.
Ответ: −3, 0, ½, 2,5. Принадлежность множествам указана в решении. Проверка сравнения проста: на прямой эти числа идут слева направо именно в таком порядке.
Задача 2. Вычислить ¾ − 1,2 + (−½) и записать результат как обыкновенную и десятичную дробь. Сначала приведём числа к обыкновенным дробям: так проще складывать и вычитать части с общим знаменателем. Затем отдельно проверим ответ приближённой оценкой, чтобы убедиться в знаке и величине результата.
Ответ: −19/20, или −0,95. Оценка подтверждает результат: 0,75 − 1,2 − 0,5 примерно равно −0,95, поэтому отрицательный знак и полученная величина правдоподобны.
Задача 3. Товар стоил 2400 рублей. Сначала цену уменьшили на 15%, а затем к новой цене добавили 10%. Проценты во втором действии считают уже от изменённой цены, поэтому нужно выполнять изменения последовательно, а не складывать или вычитать проценты от первоначальной стоимости.
Ответ: итоговая цена — 2244 рубля, это на 156 рублей меньше первоначальной. Проверка показывает, что прибавка в 10% считалась от 2040, а не от 2400. Поэтому два изменения не взаимно уничтожаются.
Ошибка: считать любое число с запятой иррациональным. Так думают, потому что иррациональные числа часто показывают десятичной записью, которая не заканчивается; но, например, 0,25 = ¼ — рациональное число. Конечную десятичную дробь всегда можно записать дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Проверь себя: если запись конечная, преобразуй её в обыкновенную дробь.
Ошибка: сравнивать отрицательные числа по цифрам, не учитывая знак и положение на прямой. Например, можно ошибочно решить, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. На самом деле −3 правее −8 и потому больше. Для проверки отметь числа на прямой или сравни расстояние до нуля: у отрицательных ближе к нулю — больше.
Ошибка: потерять скобки или знак при вычитании отрицательного числа. Такое случается, когда два знака рядом воспринимают как один и не заменяют действие правильно. Вычитание отрицательного числа превращается в сложение противоположного: 4 − (−6) = 4 + 6. Проверь себя, записав выражение со скобками и выполнив проверку на простой числовой прямой.
Ошибка: выполнять действия только слева направо, не соблюдая их порядок. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала ошибочно складывают 2 и 3, хотя умножение выполняют раньше сложения. Правильный результат — 2 + 12 = 14. Чтобы проверить себя, сначала отметь скобки, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание.
До этой темы полезно знать натуральный ряд, таблицу сложения и умножения, обыкновенные и десятичные дроби, а также устройство координатной прямой. Эти знания помогают сравнивать числа и выполнять действия осмысленно. Дальше числовые множества понадобятся при преобразовании алгебраических выражений, решении уравнений и неравенств, работе с процентами и графиками. В повседневной жизни те же умения нужны для денежных расчётов, измерений, округления и оценки разумности ответа.
Почему ноль относится к целым числам, но не всегда считается натуральным?
Целые числа включают положительные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль. Натуральные числа обычно используют для счёта предметов, поэтому в разных учебных соглашениях ряд начинают либо с 1, либо с 0. Важно уточнять, какое соглашение принято в задаче.
Как быстро сравнить два отрицательных числа?
Представь числа на координатной прямой: правее расположено большее. Поэтому из двух отрицательных больше то, которое ближе к нулю: например, −2 > −5. Можно также сравнить модули и помнить, что у отрицательных чисел большему модулю соответствует меньшее число.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n не равно нулю. Его десятичная запись конечная или бесконечная периодическая. Иррациональное число нельзя записать такой дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему при делении на ноль нельзя получить обычное число?
Деление проверяют умножением: если a : 0 = b, должно выполняться b · 0 = a. Но произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому при a ≠ 0 равенство невозможно. А выражение 0 : 0 не задаёт единственного ответа, так что деление на ноль не определено.
Как проверить, что результат сложного вычисления реалистичен?
Сначала оцени порядок величины: округли числа и прикинь ответ устно. Затем проверь знаки и порядок действий, а если возможно — выполни обратное действие. В задаче о деньгах полезно сравнить ответ с исходной суммой и понять, должно ли изменение увеличить её или уменьшить.
Числа и вычисления
