Построение геометрических фигур

Определения и обозначения

Геометрическое построение — получение фигуры с помощью заданных инструментов и точных действий. В отличие от рисунка от руки, результат не зависит от того, насколько похожей фигура кажется глазу: каждый её элемент задаётся правилами. Это нужно, чтобы можно было обосновать правильность построения.

Линейка — инструмент, которым проводят прямую через две заданные точки. При геометрических построениях её не используют для измерения длины: точки и прямые задаются действиями, а нужные расстояния переносят циркулем. Такое ограничение помогает выполнять построения именно по установленным правилам.

Циркуль — инструмент для проведения окружности или её части, дуги, с заданными центром и радиусом. Расстояние между ножками называют раствором циркуля; если его не менять, им можно переносить длину отрезка с одного места на другое. Поэтому циркуль заменяет измерение линейкой при построениях.

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Это определение не только описывает результат, но и подсказывает проверку: нужно установить, что по обе стороны построенного луча углы равны. Для построения используют циркуль и линейку.

Как это устроено

Точность обеспечивают заданные инструменты и последовательность действий, а не внешний вид чертежа. Например, на глаз можно провести луч почти посередине угла, но это не докажет равенства получившихся частей. При построении каждая отметка возникает по определённому правилу, а правильность затем обосновывают свойствами фигур.

Чтобы построить отрезок, равный данному, сначала выберите луч и его начало. Разведите циркуль так, чтобы его ножки совпали с концами исходного отрезка, и сохраните раствор. Поставьте иглу в начало луча и отметьте на нём точку дугой: отрезок от начала до отметки будет нужной длины, потому что радиусы одной окружности равны.

Для построения равного угла сначала проведите дугу с центром в вершине исходного угла так, чтобы она пересекла обе его стороны. Затем с тем же радиусом проведите дугу из новой вершины на заданном луче. Циркулем перенесите расстояние между двумя точками пересечения первой дуги со сторонами на вторую дугу; полученную точку соедините с новой вершиной. Одной дуги недостаточно: без переноса этого расстояния положение второго луча не определено.

Чтобы разделить угол пополам, проведите из его вершины дугу, пересекающую обе стороны. Из полученных точек проведите дуги одинакового радиуса, чтобы они пересеклись внутри угла. Соедините вершину с точкой пересечения: построенный луч образует два равных угла. Равенство следует из того, что стороны соответствующих треугольников построены одинаковыми радиусами.

Результат проверяют не сравнением «на глаз», а по определению и свойствам построения. У равного данному отрезка совпадают длины, потому что они отложены одним раствором циркуля. При копировании угла перенесённые дуги и расстояния задают равные треугольники, поэтому равны и углы. В случае биссектрисы равенство образованных углов подтверждается тем же рассуждением о равных треугольниках.

Основные построения циркулем и линейкой

Сначала определите, какие исходные данные даны и какой результат требуется получить. Затем выполните действия в нужной строке таблицы и отдельно обоснуйте проверку. Таблица помогает не подменять точные шаги измерением или оценкой рисунка.

Разбор задач

На луче с началом A постройте отрезок, равный данному отрезку BC.

Нужно перенести длину BC на луч, начинающийся в A. Измерять отрезок линейкой не требуется: его длину задаёт раствор циркуля. Отметим, что буквой D обозначим точку, которую получим на луче.

1. Поставьте иглу циркуля в точку B, а ножку с грифелем — в точку C, чтобы раствор циркуля стал равен BC.
2. Не меняя раствор, поставьте иглу в точку A и проведите дугу, пересекающую заданный луч.
3. Обозначьте точку пересечения дуги с лучом буквой D и соедините A и D линейкой, если отрезок нужно выделить.

Поскольку AD и BC являются радиусами окружностей с одинаковым радиусом, AD = BC. Ответ: отрезок AD на заданном луче.

Постройте угол, равный данному углу с вершиной O, из точки A и заданного луча.

Точка A будет новой вершиной, а заданный луч — одной стороной искомого угла. Чтобы определить положение второй стороны, нужно перенести не только дугу, но и расстояние между её пересечениями со сторонами исходного угла. Обозначим новую точку на дуге буквой E.

1. Проведите из O дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках B и C.
2. Тем же радиусом проведите дугу из A, чтобы она пересекла заданный луч в точке D.
3. Установите раствор циркуля по расстоянию BC. Из D отметьте на новой дуге точку E, расположенную внутри нужного угла.
4. Проведите луч AE. Он образует искомый угол с заданным лучом.

Треугольники OBC и ADE равны по трём сторонам: радиусы дуг равны, а DE перенесено по длине BC. Поэтому соответствующие углы равны. Ответ: угол между заданным лучом и AE.

Постройте биссектрису данного угла и обоснуйте, что она делит его пополам.

Пусть вершина угла — O, а стороны пересекаются с первой дугой в B и C. Пересечение дуг, проведённых из B и C, обозначим D. Нужно провести луч OD и показать, что углы по обе стороны от него равны.

1. Проведите из O дугу, пересекающую обе стороны угла в точках B и C.
2. Не меняя раствор циркуля, проведите дуги из B и C так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке D.
3. Проведите луч OD линейкой.
4. Сравните треугольники OBD и OCD: OB = OC как радиусы первой дуги, BD = CD как радиусы дуг одинакового раствора, а OD — общая сторона.

Треугольники равны по трём сторонам, следовательно, углы BOD и DOC равны. По определению OD — биссектриса данного угла.

Типичные ошибки

Измерять длину линейкой вместо переноса циркулем — ошибка, потому что при таких построениях линейка нужна для проведения прямых, а не для измерения. Часто так делают по привычке, стремясь быстрее получить нужную длину. Проверьте себя: для отложения отрезка заданного размера используйте неизменный раствор циркуля.

При построении равного угла иногда переносят только дугу, но забывают перенести расстояние между её точками пересечения со сторонами. Тогда дуга сама по себе не задаёт, где должна пройти новая сторона угла. Проверьте, что на новой дуге отмечена точка с помощью раствора, равного расстоянию между исходными точками.

Биссектрису нельзя проводить через любую точку внутри угла: в таком случае луч может не разделить его пополам. Ошибка возникает, если принять примерное положение середины за точный результат. Проверьте, что луч проходит именно через точку пересечения дуг, построенных из точек на сторонах угла.

Внешне аккуратный рисунок не является доказательством правильности. Даже небольшое отклонение может быть незаметно глазу, а ровные на вид части не обязательно равны. Проверьте построение по свойствам: сравните отрезки через равенство радиусов или обоснуйте равенство углов через равенство треугольников.

Связь с другими темами

Для построений нужно уметь обозначать и различать точку, прямую, луч, отрезок и угол. Также важно понимать, что значит равенство отрезков и углов: равные отрезки имеют одну длину, а равные углы — одну величину. Без этих понятий нельзя точно описать условие и проверить результат.

Работа циркулем опирается на свойство окружности: все её радиусы равны. Поэтому один и тот же раствор позволяет переносить длину и обосновывать равенство построенных отрезков. Этот факт лежит и в основе доказательства правильности построения угла и биссектрисы.

Навык построений пригодится при построении треугольников по заданным элементам: стороне, углу или другим известным данным. Он также помогает в доказательствах геометрических утверждений, когда нужно построить вспомогательные отрезки или углы. Точные действия превращают рисунок в основу для рассуждения.

Что запомнить

• Линейкой проводят прямые, циркулем проводят окружности и переносят расстояния.
• Построение выполняют по точным шагам, а не по рисунку от руки.
• Равный отрезок получают переносом его длины циркулем.
• При построении равного угла нужно перенести и дугу, и расстояние между точками на ней.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Верность построения проверяют по свойствам полученных фигур.