"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Периметр многоугольника — это длина его замкнутой границы, то есть сумма длин всех сторон. Он помогает узнать, сколько материала понадобится для ограды или окантовки, а также определить длину пути вокруг фигуры. Чтобы вычислить периметр, нужно пройти по границе и учесть каждый отрезок ровно один раз. У равносторонней фигуры можно умножить длину стороны на их число, а для прямоугольника есть удобная формула P = 2(a + b).
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — замкнутая плоская фигура, граница которой является ломаной без самопересечений. Ломаная состоит из соединённых концами отрезков, и вместе они образуют замкнутый контур. Такое определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой линии или фигуры, граница которой пересекает сама себя.
Сторона многоугольника — один из отрезков, входящих в его границу. Стороны соединяются концами и образуют весь контур фигуры. Число сторон определяет вид многоугольника: например, у четырёхугольника четыре стороны, а у пятиугольника — пять.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Чтобы найти длину всей границы, нужно пройти по ней и учесть каждый отрезок ровно один раз. Это правило помогает не пропустить сторону и не посчитать одну и ту же часть контура дважды.
Периметр обычно обозначают буквой P. Если у многоугольника стороны имеют длины a, b и c, равенство записывают так: P = a + b + c. Такая запись показывает, что периметр получают сложением длин сторон, а не измерением площади внутри фигуры.
Представь, что нужно пройти вдоль всей границы многоугольника, не сходя с линии. Путь состоит из отдельных прямых отрезков, и длину всего пути находят сложением длин этих отрезков. Поэтому для вычисления периметра складывают длины всех сторон, не пропуская ни одну и не считая повторно.
Если длины сторон обозначены буквами a, b, c и далее, периметр записывают так: P = a + b + c + … . Каждое слагаемое соответствует одному отрезку границы, поэтому число слагаемых равно числу сторон. Такая запись подходит для любого многоугольника, даже если длины его сторон различаются.
У равностороннего многоугольника все стороны имеют одинаковую длину, например a. Тогда вместо многократного сложения одинакового числа можно выполнить умножение: P = n · a, где n — число сторон. Например, для фигуры с пятью равными сторонами длиной a периметр равен 5 · a. Такой способ удобен именно потому, что каждое слагаемое в сумме одинаково.
У прямоугольника противоположные стороны равны: две имеют длину a, а две другие — длину b. Поэтому его периметр можно записать как a + b + a + b; одинаковые слагаемые удобно объединить и получить P = 2(a + b). Множитель 2 показывает, что сумма длины и ширины встречается дважды. Так вычисление становится короче, но учитывает все четыре стороны.
Складывать можно только величины, выраженные в одинаковых единицах. Например, перед сложением метров и сантиметров нужно перевести метры в сантиметры или сантиметры в метры, иначе числа обозначают разные по величине отрезки. После вычисления ответ записывают с единицей длины — например, в сантиметрах, метрах или миллиметрах. Выбери единицу, подходящую к условию и переводу величин.
| Ситуация | Что известно | Как найти периметр | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Произвольный многоугольник | Длины всех сторон | Сложить длины всех сторон | P = a + b + c + … |
| Равносторонний многоугольник | Длина стороны a и число сторон n | Умножить длину стороны на число сторон | P = n · a |
| Прямоугольник | Длины соседних сторон a и b | Сложить длину и ширину и удвоить сумму | P = 2(a + b) |
Сначала посмотри, какая фигура дана и какие длины известны. Для произвольного многоугольника нужна длина каждой стороны, а для равностороннего достаточно знать одну сторону и число сторон. Если дана прямоугольная фигура, используй равенство противоположных сторон и формулу с удвоенной суммой.
Стороны четырёхугольника равны 3 см, 5 см, 4 см и 6 см. Найдём периметр, то есть длину всей границы. Стороны имеют разные длины, поэтому нельзя умножить длину одной из них на число сторон.
Ответ: 18 см.
Длина прямоугольника равна 8 см, а ширина — 3 см. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому длины сторон составляют 8 см, 3 см, 8 см и 3 см. Можно сложить все четыре числа или воспользоваться формулой P = 2(a + b).
Ответ: 22 см.
Стороны пятиугольника равны 1 м, 35 см, 70 см, 45 см и 50 см. Нужно найти периметр в сантиметрах. Сначала приведём все длины к сантиметрам: если начать складывать сразу, значения окажутся записаны в разных единицах.
Ответ: 300 см.
Иногда складывают не все стороны: например, находят периметр прямоугольника, но учитывают только его длину и ширину. Так получается лишь сумма длин двух соседних сторон, а не длина всей границы. Чтобы проверить себя, перечисли стороны по порядку и сверь число слагаемых с числом сторон фигуры.
Умножение длины одной стороны на число сторон ошибочно применяют к любому многоугольнику. Этот способ подходит только тогда, когда все стороны равны; иначе он приписывает фигуре длину одинаковых сторон, которых у неё может не быть. Проверь условие: если равенство всех сторон не указано и не следует из данных, складывай их длины по отдельности.
При вычислении периметра прямоугольника иногда записывают a + b и забывают удвоить сумму. Но длина a и ширина b встречаются в контуре по два раза, поэтому периметр состоит из двух сторон каждой длины. Проверка простая: разложи формулу на четыре слагаемых — a + b + a + b — и сравни с тем, что записано.
Нельзя без перевода складывать, например, 1 м и 35 см как обычные числа, потому что единицы у этих величин разные. Ошибку допускают, когда сосредоточены на вычислении и забывают сверить обозначения. Перед сложением приведи все длины к одной единице, а в ответе укажи именно её; отдельно проверь, что перевод выполнен верно.
Для вычисления периметра нужно уметь измерять отрезки и складывать величины длины. Также пригодится перевод единиц: например, 1 м = 100 см. Эти навыки помогают записать все стороны в одинаковых единицах и получить правильную сумму.
Периметр встречается в задачах о длине ограды, окантовки или маршрута вокруг участка: во всех случаях считают длину пути вдоль границы. Позже умение отличать периметр от площади поможет решать задачи о фигурах: периметр описывает длину контура, а площадь — размер части плоскости внутри него.
Почему периметр находят сложением длин сторон?
Граница многоугольника состоит из отдельных отрезков — его сторон. Чтобы узнать общую длину этой границы, складывают длины всех отрезков.
Нужно ли складывать все стороны, если у многоугольника есть равные стороны?
Да, в сумме должна быть учтена каждая сторона, даже если некоторые имеют одинаковую длину. Равные стороны можно сложить удобным способом или заменить повторяющееся сложение умножением.
Когда можно умножить длину одной стороны на число сторон?
Так можно поступить, если все стороны многоугольника равны. Тогда периметр равен длине одной стороны, умноженной на число сторон.
Почему формула периметра прямоугольника содержит множитель 2?
У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину a и две — длину b. Поэтому сумма a + b повторяется два раза и периметр равен 2(a + b).
Что делать, если длины сторон указаны в разных единицах?
До сложения нужно перевести все длины в одну единицу измерения. Например, метры можно перевести в сантиметры, а ответ записать в сантиметрах.
Вычисляем периметр многоугольника
