"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Угол — геометрическая фигура, которую образуют два луча с общей вершиной. Его вид определяют по градусной мере: она показывает, насколько одна сторона угла повернута относительно другой. Угол меньше 90° называют острым, равный 90° — прямым, а угол между 90° и 180° — тупым. Угол в 180° называют развёрнутым. Умение различать эти виды помогает измерять и строить углы, а также решать задачи по геометрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90°. Например, угол 35° острый, потому что он не достигает величины прямого угла. Это определение помогает сразу отделить небольшие углы от прямых и тупых.
Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его стороны перпендикулярны, то есть образуют ровный поворот на четверть полного оборота. Прямой угол нужен как удобный ориентир: с ним сравнивают другие углы и проверяют их вид.
Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. Например, 125° больше прямого угла, однако стороны ещё не образуют прямую линию. Определение позволяет отличать тупой угол и от прямого, и от развёрнутого.
Развёрнутый угол — угол, градусная мера которого равна 180°. Он образуется, когда стороны угла являются противоположными лучами: они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Это понятие помогает распознавать границу, после которой угол уже не является тупым.
Вид угла определяется его градусной мерой, потому что именно она показывает величину поворота между сторонами. Если стороны немного раздвинуть, мера угла будет небольшой; если продолжать поворот, мера увеличится. Поэтому одинаково расположенные на рисунке углы могут быть разными по виду, если величины поворота у них различаются. Для классификации достаточно знать меру и сравнить её с установленными границами.
Прямой угол служит основной границей между острыми и тупыми углами. Его величина равна 90°, поэтому значение меньше этой границы указывает на острый угол, а значение больше — уже не может быть острым. Само число 90° относится к прямому углу, а не к одному из соседних видов. Такое разделение делает классификацию точной и не оставляет промежутка между видами.
Угол меньше прямого является острым, потому что его величина не достигает 90°. Если угол больше прямого, но меньше развёрнутого, он тупой: поворот уже шире прямого, но ещё не дошёл до 180°. Например, 80° — острый, 110° — тупой. Сравнение с обеими границами нужно, чтобы не назвать тупым угол в 180° или острым любой угол, который просто меньше 180°.
Развёрнутый угол получается, когда его стороны становятся противоположными лучами. У таких лучей одна вершина и одна прямая, но они направлены в противоположные стороны, поэтому между ними образуется угол в 180°. Это можно представить как поворот на половину полного оборота. Если стороны не лежат на одной прямой, угол не является развёрнутым, даже когда на рисунке он кажется почти прямым.
Чтобы определить вид угла, его можно измерить транспортиром или сравнить с прямым углом. При измерении центр транспортира совмещают с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной; затем считывают деление, на которое указывает другая сторона. Если транспортир не нужен или его нет, угол сравнивают с прямым, например с углом угольника. Измерение полезно для точного ответа, а сравнение помогает быстро оценить вид угла на чертеже.
| Вид угла | Сравнение с прямым углом | Градусная мера | Пример |
|---|---|---|---|
| Острый угол | меньше прямого | от 0° до 90° | 35° |
| Прямой угол | равен прямому | 90° | 90° |
| Тупой угол | больше прямого, но меньше развёрнутого | от 90° до 180° | 125° |
| Развёрнутый угол | образует прямую линию | 180° | 180° |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала сравните меру угла с 90° и 180°, а затем найдите подходящую строку. Обратите внимание: в строках острых и тупых углов граничные значения не включаются. Значения 90° и 180° относятся к отдельным видам — прямому и развёрнутому углам.
Условие. Определите вид углов с градусными мерами 25°, 90°, 145° и 180°. Чтобы не перепутать названия, сравним каждое число сначала с 90°, а затем, если нужно, с 180°. Это особенно важно для значений на границах: ровно 90° и ровно 180° не относятся к острым или тупым углам.
Ответ: 25° — острый, 90° — прямой, 145° — тупой, 180° — развёрнутый. Мы проверили каждую меру по границам, поэтому классификация не зависит от внешнего вида записи числа. Такой порядок действий удобно использовать и для других углов.
Условие. Начертите угол 120° и определите его вид с помощью транспортира. Сначала нужно построить стороны угла с заданной величиной, а затем использовать полученное измерение для классификации. Важно не перепутать шкалы транспортира: отсчёт начинают от той нулевой отметки, которая совпадает с начальной стороной.
Ответ: построенный угол равен 120° и является тупым, потому что 90° < 120° < 180°. При проверке убедитесь, что центр транспортира остался на вершине, а его основание не сдвинулось с первого луча. Если начальная сторона совпала с другой нулевой отметкой, выбирайте шкалу, на которой отсчёт начинается именно от неё.
Условие. Два угла имеют градусные меры x° и (x + 30)°, а их сумма равна 180°. Найдите x и определите виды углов. Сумма дана в условии, поэтому её можно записать как равенство между сложением двух мер и числом 180.
Ответ: x = 75°, углы равны 75° и 105°. Первый угол острый, так как меньше 90°, а второй тупой, поскольку он больше 90°, но меньше 180°. Проверка суммы даёт 75° + 105° = 180°, значит, найденные значения удовлетворяют условию.
Иногда угол 90° называют острым или тупым, потому что пытаются отнести его к одной из двух соседних групп. Но граница сама по себе выделена в отдельный вид — прямой угол. Проверьте себя: если мера точно равна 90°, не используйте слова «меньше» или «больше»; ответ должен быть «прямой».
Другая ошибка — считать острым любой угол меньше 180°. Так рассуждают, забывая, что между острым и развёрнутым углами есть граница 90°. Сравните число с этой отметкой: угол в 125° меньше 180°, но больше 90°, поэтому он тупой. Если мера больше 90°, острым угол уже не будет.
Некоторые включают 180° в промежуток тупых углов. Это происходит, когда запоминают только условие «больше 90°» и не учитывают вторую границу. Тупой угол должен быть меньше развёрнутого, а значение 180° означает отдельный развёрнутый угол. Для проверки запишите оба условия целиком: мера тупого угла больше 90° и меньше 180°.
При измерении транспортиром можно неверно его ориентировать и отсчитать градусы не от нулевой отметки. Тогда число на шкале не соответствует построенному углу, даже если отметка выглядит правдоподобно. Совместите центр транспортира с вершиной, а ноль — с первой стороной; выбирайте шкалу, которая начинается у этой стороны. После измерения оцените результат: острый угол меньше прямого, тупой — больше него, но меньше развёрнутого.
Чтобы изучать виды углов, нужно знать, что такое луч, вершина и стороны угла, а также понимать, что градусная мера выражает величину угла. Эти знания применяются при построении и измерении фигур, а позже помогают разбирать смежные и вертикальные углы. Классификация углов используется и при изучении треугольников и многоугольников: вид углов помогает описывать их свойства. Она также нужна для точных геометрических построений с линейкой, угольником и транспортиром.
Почему угол 90° не является ни острым, ни тупым?
Острый угол меньше 90°, а тупой — больше 90° и меньше 180°. Угол, равный 90°, выделен в отдельный вид и называется прямым.
Может ли угол быть одновременно острым и прямым?
Нет. Острый угол меньше 90°, а прямой равен 90°, поэтому эти определения не могут подходить одному углу одновременно.
Как определить вид угла без транспортира?
Сравните его с прямым углом, например с углом листа бумаги или угольника. Если угол меньше прямого, он острый; если больше, но не развёрнутый, — тупой.
Почему угол 180° называют развёрнутым?
При таком угле его стороны становятся противоположными лучами и лежат на одной прямой. Угол как бы раскрывается до прямой линии.
К какому виду относится угол, если его мера указана приблизительно?
Если приближённая мера уверенно меньше 90° или находится между 90° и 180°, можно назвать угол острым или тупым соответственно. Если значение близко к границе, точности может не хватить: нужно измерить угол аккуратнее.
Виды углов
