Виды углов

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, в записи ∠ABC вершина — B, а стороны — лучи BA и BC. Букву вершины ставят посередине, чтобы сразу было понятно, где сходятся стороны.

Острый угол — угол, градусная мера которого больше 0° и меньше 90°. Он раскрыт меньше, чем прямой угол. Это определение позволяет не полагаться на то, насколько узким угол кажется на рисунке, а проверить его точное значение.

Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°. Его часто отмечают маленьким квадратиком у вершины. Такой знак помогает узнать прямой угол на чертеже даже тогда, когда рядом нет числа, обозначающего его меру.

Тупой угол — угол, мера которого больше 90°, но меньше 180°. Его раскрытие шире прямого, однако стороны ещё не лежат на одной прямой. Эти границы помогают отличить тупой угол и от прямого, и от развёрнутого.

Развёрнутый угол — угол, мера которого равна 180°. Его стороны являются противоположными лучами, то есть лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Это название нужно, чтобы отличать угол с таким раскрытием от других углов, которые не образуют прямую линию.

Как это устроено

Стороны угла — именно лучи, а не отрезки: у каждого луча есть начало, но нет конца. Они выходят из одной общей точки — вершины — и расходятся в разных направлениях. Если представить, что один луч поворачивается вокруг вершины, величина поворота до второго луча и будет мерой угла. Поэтому длина нарисованных сторон сама по себе не определяет величину угла.

Угол измеряют в градусах с помощью транспортира. Центр инструмента совмещают с вершиной, его нулевую линию — с одной стороной, а затем смотрят, на какую отметку приходится другая сторона. На транспортире часто есть две шкалы, поэтому выбирают ту, которая начинается с 0° у совмещённой стороны. Чем дальше друг от друга раскрыты стороны, тем больше мера угла: поворот луча на 60° образует меньший угол, чем поворот на 120°.

Прямой угол служит границей между острыми и тупыми, потому что его мера равна 90°. Все углы меньше этой меры, но больше нуля, — острые; углы больше 90° уже относятся к тупым, если они меньше 180°. Значение 90° не входит ни в один из этих промежутков: именно поэтому прямой угол выделяют отдельно. Такое строгое разделение исключает путаницу на границе.

Чтобы классифицировать угол, сравните его градусную меру с числами 90° и 180°. Если она меньше 90°, угол острый; если равна 90° — прямой; если находится между 90° и 180° — тупой; если равна 180° — развёрнутый. Слова «меньше», «равна» и «между» здесь задают разные условия, поэтому важно учитывать их буквально. Например, угол 90° нельзя назвать острым, а 180° нельзя включить в промежуток для тупого.

У развёрнутого угла стороны лежат на одной прямой, но это не два луча, направленные одинаково. Они имеют общую вершину и идут от неё в противоположные стороны, образуя полный разворот на 180°. У остальных перечисленных видов стороны не составляют такую прямую пару. Поэтому развёрнутый угол можно узнать и по градусной мере, и по расположению сторон.

Виды углов и их градусные меры

Пользуйтесь таблицей, сначала находя градусную меру угла, а затем сверяя её с подходящей строкой. Если измерение пока неизвестно, расположение сторон может подсказать вид, но точную меру даст транспортир. Особенно внимательно проверяйте граничные значения 90° и 180°.

Разбор задач

Задача 1. Определите вид углов с градусными мерами 35°, 90°, 127° и 180°. Сравним каждую меру с границами видов: 90° и 180°. Равные граничным значениям углы нужно назвать отдельно, а не включать в соседние промежутки.

1. 35° меньше 90° и больше 0°, значит, угол острый.
2. 90° равны мере прямого угла, поэтому это прямой угол.
3. 127° больше 90°, но меньше 180°, значит, угол тупой.
4. 180° равны мере развёрнутого угла, поэтому это развёрнутый угол.

Ответ: 35° — острый, 90° — прямой, 127° — тупой, 180° — развёрнутый. Проверка основана на сравнении, а не на внешнем виде углов. Так можно избежать ошибки на точных границах.

Задача 2. Постройте транспортиром острый угол 48°, прямой угол и тупой угол 135°, подпишите вершины и стороны. Построение начинается с одного луча: он задаёт исходное направление для отсчёта. Второй луч проводят через отметку нужного числа градусов.

1. Поставьте точку O и проведите из неё луч OA. Совместите центр транспортира с O, а нулевую линию — с OA.
2. Отметьте 48° и проведите через отметку луч OB. Получился ∠AOB; он острый, так как 48° меньше 90°.
3. Для прямого угла отложите от новой исходной стороны 90° и проведите второй луч. Для угла 135° повторите построение, отметив 135°; он должен быть шире прямого, но меньше развёрнутого.
4. Обозначьте каждую вершину и точки на сторонах. Проверьте, что для прямого угла выбран отсчёт 90°, а для тупого — число между 90° и 180°.

Ответ: построены углы 48°, 90° и 135° — острый, прямой и тупой соответственно. При проверке убедитесь, что центр транспортира совпал с вершиной. Неправильное положение инструмента может дать неверный результат даже при точной отметке.

Задача 3. Угол на 24° больше прямого. Найдите его градусную меру и определите вид. Слова «на 24° больше» означают, что к мере прямого угла нужно прибавить 24°. После вычисления полученное число сравним с границами классификации.

1. Мера прямого угла равна 90°.
2. Прибавим указанную разницу: 90° + 24° = 114°.
3. 114° больше 90°, но меньше 180°, следовательно, угол тупой.

Ответ: 114°, тупой угол. Проверка: результат действительно больше прямого угла на 24°. Он не достигает 180°, поэтому не является развёрнутым.

Типичные ошибки

Иногда угол называют острым только потому, что на рисунке он выглядит узким. Так происходит, если рисунок сделан не в масштабе или стороны изображены с наклоном. Проверьте себя: найдите меру транспортиром или сравните угол с прямым, а не судите только по виду.

Стороны угла путают с отрезками и забывают, что это лучи, начинающиеся в общей точке. Из-за этого можно неверно назвать вершину или считать, что важна длина сторон. Проверьте обозначение: обе стороны должны выходить из одной вершины и продолжаться в заданных направлениях.

Угол в 90° иногда относят к острому или тупому, неправильно включая границу в неравенства. Ошибка возникает, если не заметить слова «меньше» и «больше» в определениях. Проверьте: острый угол строго меньше 90°, тупой строго больше 90°, а равный 90° — прямой.

При измерении можно поставить центр транспортира не на вершину или выбрать шкалу, которая начинается не с нуля у первой стороны. Тогда результат будет неверным, даже если инструмент приложен почти правильно. Проверьте совпадение центра и вершины, положение нулевой линии и то, какая шкала отсчитывается от неё.

Связь с другими темами

Для изучения углов пригодятся понятия точки, луча и отрезка: они помогают правильно представить стороны и вершину. Также нужно знать, что такое градусная мера и как устроен транспортир, иначе трудно измерять и строить углы. Освоив классификацию углов, вы сможете увереннее выполнять геометрические построения. Она пригодится при изучении треугольников и решении задач на сумму углов.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Острый угол меньше 90°.
• Прямой угол равен 90°.
• Тупой угол больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Вид угла определяют по его градусной мере.