"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Математическая модель — это описание ситуации с помощью математических средств: слов, схем, таблиц или буквенных записей. Она помогает увидеть, какие величины связаны между собой, и выбрать способ решения задачи. Чтобы модель была полезной, в ней оставляют важные для ответа условия и не отвлекаются на лишние детали. Одну задачу часто можно представить несколькими способами, а после вычислений нужно проверить, подходит ли ответ к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью математических объектов, которое помогает решить задачу. Такими объектами могут быть числа, выражения, схемы или таблицы. Модель нужна, чтобы выделить главное и понять, какие действия помогут найти ответ. Она не обязана повторять ситуацию во всех подробностях.
Словесная модель — краткое описание ситуации и связей между величинами словами. Например: «в первом ряду на пять стульев больше, чем во втором». Такое описание помогает сначала понять условие, а потом выбрать вычисления или другой вид модели. Оно особенно полезно, когда нужно выразить связь простыми словами.
Графическая модель — изображение ситуации с помощью рисунка, схемы или чертежа. Схема может показывать, какие части равны и какая из них больше. Благодаря этому отношения между величинами легче увидеть, чем в длинном тексте. Модель помогает не перепутать, что именно сравнивают.
Буквенная модель — запись связей между величинами с помощью буквенных выражений или формул. Например, запись 18 − x = 11 означает, что из 18 предметов взяли неизвестное количество x, и осталось 11. Буква обозначает величину, которую надо найти. Такая запись помогает перевести условие задачи на язык математики.
Сначала в условии выделяют важные объекты, величины и известные условия. Это нужно, потому что в рассказе могут быть подробности, которые не влияют на ответ, и они отвлекают от главного. Например, цвет коробки не важен, если требуется узнать, сколько карандашей из неё взяли. Полезно спросить себя: какие числа даны и что именно нужно найти?
Одну ситуацию можно представить словами, рисунком, таблицей или математической записью. Разные способы помогают заметить разные стороны задачи: слова объясняют смысл, схема показывает части и сравнение, а запись делает связь точной. Поэтому способ выбирают не по правилу «всегда рисовать» или «всегда составлять выражение», а по тому, что яснее показывает нужное отношение. Иногда удобно использовать сразу несколько представлений.
В модели обозначают величины и устанавливают связи между ними: например, что одна величина равна другой, на сколько-то больше или получается сложением частей. Такие отношения важны, потому что именно они превращают описание в основу для вычислений. Если связь записана верно, можно выбрать подходящее действие или составить равенство. Если же перепутать сумму и разность, дальнейшие вычисления не приведут к ответу задачи.
Когда модель готова, с ней работают: выполняют вычисления или рассуждают по схеме. Затем найденный результат проверяют по условию, потому что число само по себе ещё не объясняет, что оно означает. Например, можно подставить найденное число вместо неизвестной величины и проверить, выполняется ли равенство. Также стоит назвать ответ словами и убедиться, что он подходит к ситуации.
Модель может быть упрощённой: она сохраняет важные для решения связи, но не описывает все стороны реальной жизни. Это удобно, потому что подробное описание часто мешает увидеть нужное отношение. Например, для задачи о встречном движении важны расстояние и скорости, а одежда пешеходов на решение не влияет. Упрощение допустимо, пока оно не меняет смысл условия и не убирает нужные данные.
| Вид модели | Как представляется | Когда удобна |
|---|---|---|
| Словесная модель | Краткое описание словами | Чтобы понять условие и назвать связи между величинами |
| Графическая модель | Рисунок, схема или чертёж | Чтобы увидеть части, сравнение или взаимное расположение |
| Табличная модель | Данные в строках и столбцах | Чтобы упорядочить и сопоставить несколько величин или объектов |
| Буквенная модель | Выражение или равенство с буквами | Чтобы обозначить неизвестную величину и записать связь точно |
Сначала определи, какую связь нужно показать, а затем выбери подходящую строку таблицы. Если один способ не проясняет условие, можно дополнить его другим, например словесное описание — схемой. Главное, чтобы выбранная модель помогала решать задачу, а не добавляла лишнюю сложность.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей, несколько карандашей взяли, и осталось 11. Сколько карандашей взяли? Неизвестное количество обозначим буквой x. Поскольку карандаши взяли из тех, что были, остаток получим вычитанием.
Ответ: взяли 7 карандашей.
Задача 2. В двух рядах 27 стульев, причём в первом ряду на 5 стульев больше, чем во втором. Сколько стульев в каждом ряду? Удобно изобразить второй ряд одной частью, а первый — такой же частью и ещё пятью стульями. Так видно, что всего 27 стульев состоят из двух равных частей и добавочных пяти.
Ответ: в первом ряду 16 стульев, во втором — 11 стульев.
Задача 3. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли пешеходы. Скорости пешеходов — 4 км/ч и 5 км/ч, расстояние между пунктами — 18 км. Через сколько часов они встретятся? За каждый час оба пешехода проходят часть расстояния навстречу друг другу, поэтому промежуток между ними уменьшается. Сложение скоростей показывает, на сколько километров этот промежуток сокращается за час.
Ответ: пешеходы встретятся через 2 часа.
В модель иногда включают все детали условия, даже те, что не влияют на ответ. Так происходит, когда ученик старается переписать рассказ целиком и теряет главное отношение между величинами. Чтобы проверить себя, спроси: меняется ли решение, если убрать эту подробность? Если нет, для модели она не нужна.
Можно выбрать неудобный вид модели, например пытаться описать сложное сравнение длинным текстом. Часто так делают, потому что не замечают, что схема показывает равные части и разницу нагляднее. Сравни, легко ли по твоей записи увидеть, какая величина больше и на сколько. Если приходится перечитывать условие, попробуй нарисовать схему.
Запись чисел и действий без пояснения может не соответствовать ситуации. Ошибка возникает, когда ученик выполняет знакомое действие, не решив, что обозначает каждое число. Подпиши величины или объясни их словами, а затем проверь, отвечает ли выбранное действие условию. Например, не перепутаны ли начальное количество и остаток?
Ещё одна ошибка — принять вычисленное число за ответ и не сверить его с условием. Даже верное вычисление может быть истолковано неверно: например, число 11 может обозначать стулья во втором ряду, а не в первом. Проверь, выполняются ли все условия задачи, и запиши ответ с названием величины. Если речь о предметах, проверь также, что результат возможен в этой ситуации.
Чтобы строить модели, нужно понимать условие задачи, выполнять арифметические действия и находить отношения между величинами. Эти умения помогают определить, какие данные известны и что требуется узнать. Работа с моделями, в свою очередь, пригодится при решении текстовых задач, составлении выражений и уравнений. Позднее схемы, чертежи и буквенные записи будут помогать изучать геометрию и алгебру.
Что называют математической моделью?
Это описание реальной ситуации с помощью математических объектов: слов, схем, таблиц, чисел или букв. Модель показывает важные связи между величинами и помогает решить задачу.
Обязательно ли составлять модель для каждой задачи?
Отдельно записывать модель необязательно: простую задачу иногда можно решить устно. Но полезно представить условие в удобном виде, особенно если величин несколько или их отношения сложно удержать в памяти.
Как выбрать подходящий вид модели?
Выбирай тот способ, который яснее показывает главную связь из условия. Для сравнения часто удобна схема, для данных по нескольким объектам — таблица, а для неизвестной величины — буквенная запись.
Чем графическая модель отличается от буквенной?
Графическая модель показывает ситуацию рисунком, схемой или чертежом. Буквенная модель записывает отношения между величинами с помощью букв и математических знаков.
Зачем проверять ответ по условию задачи?
Проверка помогает убедиться, что найденное число не только вычислено правильно, но и подходит к ситуации. Например, в ответе о количестве предметов не должно получиться отрицательное или дробное число, если речь идёт о целых предметах.
2. Работа с математическими моделями
