2. Работа с математическими моделями

Определения и обозначения

Математическая модель — описание предмета, события или задачи с помощью математических средств: чисел, действий, выражений, равенств, таблиц или схем. Она не копирует всю жизнь вокруг, а оставляет только важные для решения сведения. Модель нужна, чтобы увидеть связи между данными и рассуждать точно.

Математическое моделирование — работа по составлению и применению модели. Сначала мы переводим условие на язык математики, затем решаем полученную задачу и возвращаемся к исходной ситуации. Это помогает проверить, действительно ли вычисления отвечают на поставленный вопрос.

Величина — то, что можно измерить или посчитать, например длина, масса, время или количество предметов. Числа показывают значения величин, а единицы измерения поясняют, что именно измерено: 5 сантиметров и 5 минут — разные значения. Это различие нужно учитывать и при записи модели, и при ответе.

Выражение — запись из чисел и знаков действий, например 18 − 7 или 3 · 20. Оно может описывать связь между данными задачи и помогать найти неизвестное. Чтобы выбрать выражение, нужно понять, что происходит с величинами, а не просто переписать числа из условия.

Как это устроено

Работа над моделью начинается с чтения условия. Нужно выяснить, о чём говорится, что известно и что спрашивают; полезно назвать каждое число словами. Так числа перестают быть отдельными значками и превращаются в данные о конкретной ситуации. Если условие длинное, можно перечитать его и выделить только сведения, нужные для ответа.

Затем надо определить связь между величинами. Если к имевшемуся количеству добавили несколько предметов, новое количество находят сложением; если часть убрали — вычитанием. Когда несколько одинаковых групп содержат одно и то же число предметов, общее количество удобно описать умножением. Выбор действия зависит от смысла ситуации, поэтому сначала важно представить, что происходит.

После этого выбирают форму модели. Для простой задачи часто достаточно выражения, а для нескольких шагов может подойти схема, где видно, как части составляют целое. Таблица помогает, когда нужно сопоставить несколько значений, например количество одинаковых покупок и их стоимость. Удобная модель делает связи понятными и не перегружает решение лишними подробностями.

Составив модель, решают её обычными математическими способами. При нескольких действиях нужно следить за их порядком: сначала выяснить промежуточный результат, если от него зависит следующий шаг. Записывать рассуждение по этапам полезно, потому что так легче заметить место ошибки и объяснить, откуда взялось каждое число.

Последний этап — проверка и ответ словами. Проверь, подходит ли результат к вопросу, не больше ли он возможного и указана ли нужная единица измерения. Например, стоимость выражают в рублях, а количество предметов — в штуках. Если вычисление верное, но ответ не соответствует ситуации, значит, модель или решение нужно пересмотреть.

Примеры моделей в задачах

Сначала прочитай ситуацию и определи, какую связь показывает модель: изменение количества, равные группы или деление на части. Затем проверь, совпадает ли вопрос с тем, что можно узнать по записи. Если задача состоит из нескольких шагов, запиши промежуточные действия отдельно.

Разбор задач

Задача. В библиотеке было 36 новых книг. В понедельник выдали 12 книг, а во вторник — ещё 9. Сколько новых книг осталось в библиотеке? Сначала представим книги как одно общее количество, которое уменьшается два раза. Значит, надо выполнить два вычитания или сначала узнать, сколько книг выдали всего.

1. Определяем, что известно и что нужно найти. Было 36 книг, выдали 12 и 9 книг, спрашивают остаток. Все числа относятся к количеству книг, поэтому в ответе тоже будут книги.
2. Составляем модель. Можно записать 36 − 12 − 9: из начального количества последовательно убираются выдачи. Можно сначала сложить выданные книги, а потом вычесть сумму: 36 − (12 + 9). Оба способа описывают одну ситуацию.
3. Решаем по порядку. Сначала находим общее количество выданных книг: 12 + 9 = 21. Затем узнаём остаток: 36 − 21 = 15.
4. Проверяем смысл ответа. Выдали 21 книгу из 36, поэтому остаток должен быть меньше 36. Проверка сложением даёт 15 + 21 = 36, значит, начальное количество восстановилось.

Ответ: в библиотеке осталось 15 новых книг. В этой задаче выражение стало моделью, потому что оно показало изменение количества книг. Скобки в записи 36 − (12 + 9) помогают увидеть, что сначала объединяются две выдачи, а затем их общее количество вычитается из начального.

Типичные ошибки

• Выбирать действие только по словам. Ученик может решить, что слово «осталось» всегда означает вычитание, не разобравшись, что именно спрашивают. Такая ошибка возникает, когда отдельное слово заменяет понимание всего условия. Проверь себя: перескажи ситуацию и объясни, какие количества соединяются, увеличиваются или уменьшаются.

• Складывать или вычитать числа, не выяснив их смысл. Числа в условии могут обозначать разные величины, поэтому действие между ними не всегда имеет смысл. Ошибку допускают, если сразу переходят к вычислениям. Подпиши данные словами и проверь, можно ли сравнивать или объединять такие величины.

• Забывать, что означает промежуточный результат. При задаче в несколько действий можно получить верное число, но использовать его не так. Это происходит, когда вычисления записаны без пояснений. После каждого шага называй результат словами и сверяй его со следующим действием.

• Не проверять ответ по условию. Иногда записывают число без единицы измерения или дают ответ не на тот вопрос. Причина — внимание только к вычислению. Прочитай вопрос ещё раз, назови величину и проверь, правдоподобен ли результат.

Связь с другими темами

Работа с моделями опирается на знание арифметических действий и порядка вычислений: без них нельзя решить составленное выражение. Она связана с величинами и единицами измерения, потому что модель должна показывать, что именно считают или измеряют. Схемы и таблицы помогают организовать данные и увидеть отношения между ними. Позже тот же подход пригодится при изучении буквенных выражений и уравнений: неизвестное можно обозначить буквой, а связь описать математической записью.

Что запомнить

• Модель описывает ситуацию математическими средствами и сохраняет важные для решения сведения.
• Сначала выясни, что известно и что требуется найти, затем установи связь между величинами.
• Выбирай подходящую форму: выражение, равенство, таблицу или схему.
• Реши модель, проверь результат по смыслу и запиши ответ с нужной единицей измерения.