"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Математическая модель — это описание ситуации с помощью чисел, знаков, букв, схем и других математических средств. Она помогает увидеть главное: какие величины известны, что нужно найти и как они связаны. Сначала условие переводят на математический язык, затем решают задачу и проверяют, подходит ли результат к реальной ситуации. Одну задачу иногда можно представить несколькими способами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание ситуации с помощью математических объектов и отношений. Она сохраняет важные для задачи сведения, например числа и связь между ними, но не все подробности реальной ситуации. Благодаря модели можно сосредоточиться на том, что требуется найти и как это сделать. Например, покупку нескольких одинаковых предметов можно описать умножением.
Математический язык — это числа, знаки, буквы и правила записи, с помощью которых кратко выражают условие и связи между величинами. Вместо длинного описания можно записать 12 + 5. Такая запись помогает быстрее увидеть, какое действие связывает данные задачи. Чтобы её понять, нужно знать значение знаков и учитывать смысл условия.
Буквенное выражение — запись, в которой буква обозначает число или величину. Например, x + 7 показывает, что к некоторому числу прибавили семь. Буква помогает записать не только один пример, но и общий случай, когда число пока неизвестно или может меняться. Перед решением полезно пояснить, что именно обозначает буква.
Уравнение — равенство с неизвестным, которое используют как модель ситуации, если нужно найти неизвестную величину. Например, запись 4 · x = 60 означает, что четыре одинаковые величины вместе составляют шестьдесят. Решая уравнение, мы находим значение неизвестной и затем проверяем, подходит ли оно к условию. Так равенство помогает перейти от текста к поиску ответа.
Модель составляют, чтобы отделить главное от подробностей, которые не влияют на ответ. В задаче о покупке может быть названа форма упаковки, цвет товара и место покупки, но для вычисления цены эти сведения часто не нужны. Зато важны количество предметов, цена или общая стоимость. Если оставить только нужные данные и их связь, рассуждать становится проще.
Чтобы перейти от условия к модели, сначала выясни, что известно и что требуется найти. Затем подумай, как связаны величины: их складывают, сравнивают, умножают или делят. После этого выбери запись, которая показывает именно эту связь. Такой порядок нужен потому, что одних чисел из условия недостаточно: без действия они не объясняют, как получить ответ.
Одну ситуацию можно описать по-разному, потому что математическая связь допускает разные способы записи. Слова помогают проговорить её, выражение — показать вычисление, уравнение — найти неизвестное, а схема — наглядно расположить данные. Например, прибавление семи к числу можно описать словами или записать как x + 7. Выбирай способ, который лучше помогает понять задачу и выполнить нужные действия.
Проверка модели нужна, чтобы убедиться: в записи не перепутаны данные и отношения. Сопоставь числа и буквы с условием, а каждое действие — с тем, что происходит в задаче. Если в тексте сказано, что к имевшимся предметам добавили новые, модель должна показывать увеличение количества. Такая проверка помогает заметить ошибку ещё до вычислений.
Когда модель составлена, выполни действия или реши уравнение, а затем объясни найденное число словами задачи. Математический результат сам по себе ещё не всегда является ответом: нужно назвать, что именно он показывает. После этого проверь его разумность и подставь в условие, если это возможно. Например, если искали число предметов, отрицательное значение или слишком большое количество может указывать на ошибку.
| Способ представления | Что показывает | Пример для ситуации «к числу прибавили 7» |
|---|---|---|
| Словесное описание связи | Связь между величинами словами | К некоторому числу прибавили 7 |
| Буквенное выражение | Действие с неизвестным или переменным числом | x + 7 |
| Уравнение | Равенство, которое помогает найти неизвестное | x + 7 = 12 |
| Схема | Части и их связь наглядно | [число] → + 7 → [результат] |
В таблице одна и та же связь показана разными способами. Сначала выбери тот, который помогает яснее понять условие; если нужно, переходи от слов к выражению или уравнению. Обрати внимание: уравнение подходит, когда известен результат и требуется найти начальное число.
Задача 1. В коробке было 12 карандашей, затем положили ещё 5. Сколько карандашей стало? Важно понять, что новые карандаши добавились к уже имевшимся, поэтому количество увеличилось. Число 12 показывает начальное количество, а 5 — сколько положили.
Ответ: стало 17 карандашей. Число подходит к условию: оно больше начальных двенадцати на пять.
Задача 2. В одной корзине яблок на 8 больше, чем в другой. В меньшей корзине 15 яблок. Сколько яблок в большей? Слова «на 8 больше» означают, что к количеству яблок в меньшей корзине нужно прибавить восемь. Здесь 15 — известное количество в меньшей корзине, а 8 — разница между корзинами.
Ответ: в большей корзине 23 яблока. Число 15 обозначает количество в меньшей корзине, а 8 — насколько больше яблок в другой.
Задача 3. За одинаковую цену купили 4 тетради и заплатили 60 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Цена каждой тетради неизвестна, зато известны число тетрадей и общая стоимость. Поскольку тетради стоят одинаково, общую цену можно представить как четыре одинаковых слагаемых.
Ответ: одна тетрадь стоит 15 рублей. Проверка показывает, что четыре тетради по такой цене действительно стоят 60 рублей.
Иногда в запись просто переносят все числа из условия, не устанавливая связь между ними. Такая запись остаётся набором данных и не помогает ответить на вопрос задачи. Ошибку допускают, когда торопятся вычислять и не выясняют, что означает каждое число. Проверь себя: можешь ли ты словами объяснить, почему выбрано именно это действие?
Слова «на несколько больше» и «в несколько раз больше» иногда путают, хотя они описывают разные отношения. В первом случае обычно нужно прибавить разницу, а во втором — умножить на число раз. Путаница возникает из-за похожего слова «больше», если не прочитать условие целиком. Проверь, сказано ли в задаче, на сколько предметов больше или во сколько раз.
Если использовать букву и не пояснить её значение, запись становится трудной для понимания. Например, в уравнении 4 · x = 60 должно быть ясно, что x — цена одной тетради, а не количество тетрадей. Такая ошибка часто появляется, когда букву вводят автоматически. Перед решением допиши фразу «Пусть x — …» и проверь, подходит ли она к условию.
Найденное число нельзя считать ответом, пока не проверено, подходит ли оно задаче. Можно правильно выполнить вычисления, но составить неверную модель или не заметить, что результат не имеет смысла в данной ситуации. После решения подставь значение в модель и сравни результат с условием. Затем назови, что означает число, и оцени, разумно ли оно.
Чтобы составлять модели, нужно уметь читать математические записи и выполнять арифметические действия. Полезно также находить неизвестное слагаемое, множитель или делимое: эти навыки помогают решать простые уравнения. Если какое-то действие или обозначение непонятно, сначала повтори его значение. Тогда переход от словесного условия к математической записи будет понятнее.
Модели применяются при решении текстовых задач и составлении уравнений. С их помощью можно описывать зависимости между величинами, например связь количества одинаковых покупок с общей стоимостью. Позже такие представления помогают разбирать более сложные задачи и сравнивать разные способы решения. Умение объяснить модель показывает, что ты понял не только вычисления, но и смысл условия.
Что называют математической моделью?
Это описание ситуации с помощью математических объектов и связей между ними. Например, прибавление пяти карандашей к двенадцати можно записать так: 12 + 5.
Зачем составлять модель, если условие уже написано словами?
Слова могут содержать лишние подробности, а модель помогает выделить данные и отношения, нужные для решения. С ней легче понять, какое действие выполнить и что означает ответ.
Может ли у одной задачи быть несколько математических моделей?
Да. Связь можно описать словами, показать схемой или записать выражением либо уравнением. Подходящая модель должна сохранять важные для задачи сведения.
Когда в модели используют букву?
Букву используют, когда нужно обозначить неизвестное число или величину, а также записать общий случай. Например, если к числу x прибавили 7, получается выражение x + 7.
Как проверить, что модель правильно описывает условие?
Нужно соотнести каждое число, букву и действие в записи с условием задачи. Затем проверь, что модель учитывает нужные связи, а найденный результат подходит по смыслу.
§ 2. Математические модели.
