"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Математическая модель — это описание задачи с помощью чисел, величин и математических действий. Она заменяет подробную реальную ситуацию более простой записью, но сохраняет то, что нужно для ответа. Чтобы составить модель, надо понять, какие величины известны, что требуется найти и как величины связаны. Затем по записи выполняют вычисления и объясняют результат словами задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модель — это упрощённая замена реального предмета, явления или ситуации. Она сохраняет те свойства и сведения, которые важны для решения конкретной задачи. Например, план комнаты может показать расположение мебели, но не её цвет. Модель нужна, чтобы рассматривать задачу проще, не отвлекаясь на лишние подробности.
Математическая модель — описание ситуации с помощью чисел, величин, отношений и действий. В ней могут использоваться выражения, равенства и таблицы. Например, запись 8 · 3 описывает общее число карандашей в трёх одинаковых коробках, если в каждой лежит по 8. Такая модель помогает увидеть связь между величинами и выполнить нужные вычисления.
Математическое моделирование — это переход от условия задачи к математической записи, работа с этой записью и объяснение результата. Сначала определяют, что известно и что требуется найти, затем составляют модель и вычисляют. После этого полученное число возвращают в исходную ситуацию и проверяют, подходит ли оно. Так математика помогает ответить на вопрос о реальных предметах или событиях.
Математическое выражение — запись из чисел и знаков действий, которая может служить моделью связи между величинами. Например, если одна тетрадь стоит 30 рублей, выражение 30 · 7 показывает стоимость семи тетрадей. Равенство может включать неизвестное число, например x + 8 = 46. Такие записи нужны, чтобы коротко и точно передать условие задачи.
Реальная ситуация обычно содержит больше сведений, чем требуется для ответа. Модель делает её проще: в задаче о покупке могут быть важны количество одинаковых товаров и их цена, но не цвет упаковки. Упрощение помогает сосредоточиться на нужной связи и не запутаться в деталях. При этом модель должна сохранять всё, от чего зависит ответ.
Чтобы выделить нужные величины, сначала прочитай вопрос задачи: он подскажет, что требуется найти. Затем отметь данные, которые связаны с этой величиной, и выясни, как именно они связаны. Например, для общей стоимости важны цена одного предмета и число предметов. Другие сведения можно не включать, если они не влияют на стоимость.
Из словесного условия переходят к записи постепенно. Назови величины и определи, что означает каждое число; затем выбери действие, которое выражает связь. Если в каждой одинаковой коробке по 8 карандашей, а коробок 3, общее количество задаёт выражение 8 · 3. Если нужно найти неизвестную величину, её можно обозначить буквой и записать равенство.
После составления модели выполняют вычисления, а затем объясняют ответ в словах исходной задачи. Если выражение 8 · 3 равно 24, то это не просто число: оно означает, что в трёх коробках 24 карандаша. Проверь, подходит ли ответ к вопросу и правильно ли названа единица счёта. Без такого истолкования вычисление ещё не завершает решение задачи.
Одна и та же ситуация может требовать разных моделей, потому что вопрос меняет то, какую величину нужно найти. Если известны число коробок и карандашей в каждой, для общего количества подходит умножение. Если же известно общее количество и число коробок, а требуется узнать содержимое каждой, используют деление. Значит, модель выбирают не только по условию, но и по поставленному вопросу.
| Способ записи | Как представлена информация | Пример для задачи о покупке | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Словесная запись | Связь величин описана словами | Семь тетрадей стоят столько же, сколько семь раз цена одной тетради. | ||||||
| Числовое выражение | Числа соединены знаками действий | 30 · 7 | ||||||
| Равенство с неизвестным | Неизвестная величина обозначена буквой | 4 · x = 120 | ||||||
| Таблица величин | Данные расположены по строкам или столбцам |
|
Выбирай тот способ, в котором легче увидеть связь величин. Словесная запись помогает объяснить рассуждение, а выражение — быстро выполнить вычисления. Равенство и таблица удобны, когда есть неизвестная величина или нужно сравнить несколько наборов данных.
Задача 1. В коробке 8 карандашей. Сколько карандашей в трёх таких коробках? Коробки одинаковые, поэтому в каждой лежит одно и то же количество. Чтобы найти общее количество, нужно сложить 8 три раза, то есть умножить 8 на 3.
Ответ: 24 карандаша.
Задача 2. За 4 одинаковые тетради заплатили 120 рублей. Сколько стоят 7 таких тетрадей? Сначала найдём цену одной тетради, потому что цена всех четырёх дана вместе. Затем узнаем стоимость семи тетрадей по найденной цене одной.
Ответ: 7 тетрадей стоят 210 рублей.
Задача 3. В двух коробках 46 деталей. В первой на 8 деталей больше, чем во второй. Сколько деталей в каждой коробке? Количество деталей во второй коробке неизвестно, поэтому обозначим его буквой x. Тогда в первой коробке будет x + 8 деталей, а вместе — 46.
Ответ: в первой коробке 27 деталей, во второй — 19 деталей.
Включать в модель все числа из условия. Так поступают, когда считают, что каждое число обязательно нужно использовать. Но некоторые сведения могут не относиться к вопросу, и лишние числа приведут к неверному выражению. Проверь себя: объясни, какую роль играет каждое число в записи, и убери то, что не связано с искомой величиной.
Выбирать действие только по отдельному слову. Например, слово «больше» не всегда означает, что надо сразу прибавить: важно понять, что именно сравнивают и что требуется найти. Такая ошибка возникает, если не проследить связь между величинами целиком. Проверь себя, пересказав смысл действия или изобразив данные простой схемой.
Не объяснять, что обозначает неизвестное. Тогда трудно понять, правильно ли составлено равенство и чему равен найденный результат. Обычно букву записывают сразу, не назвав величину. Перед решением напиши словами, что обозначает неизвестное, и после вычисления вернись к этому объяснению.
Считать вычисление готовым ответом. Полученное число может относиться не к той величине или иметь неверную единицу измерения. Ошибку допускают, когда останавливаются после последнего действия. Сверь результат с вопросом, назови единицы и проверь, выполняются ли исходные условия.
Для работы с моделями нужно уметь читать условие задачи, находить известные и неизвестные величины и выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки помогают перейти от текста к выражению или равенству. Математические модели пригодятся при решении текстовых задач, составлении выражений и равенств, а также при работе с таблицами и величинами. Чем яснее установлена связь между данными, тем легче выбрать способ решения.
Чем математическая модель отличается от самой ситуации?
Ситуация происходит в жизни и может содержать много подробностей. Модель — её упрощённое описание математическими средствами, в котором оставлены только сведения, нужные для решения.
Как понять, какие данные из условия нужны для модели?
Сначала выясни, что требуется найти, а затем определи, какие величины и связи помогут это сделать. Число нужно включать в модель только тогда, когда оно влияет на ответ.
Можно ли одну задачу записать разными способами?
Да. Связь между величинами можно описать словами, таблицей, выражением или равенством. Подходящая запись зависит от вопроса задачи и от того, какие величины удобнее сравнивать.
Как перейти от словесного условия к выражению или равенству?
Обозначь известные и неизвестные величины, а потом определи, как они связаны. Если всё нужное известно, связь можно записать выражением; если есть неизвестное, часто составляют равенство с ним.
Почему найденное число нужно проверять по смыслу задачи?
Вычисление может быть верным, но число не отвечать на вопрос задачи или иметь неподходящие единицы измерения. Проверка помогает убедиться, что результат описывает исходную ситуацию.
§ 2. Математические модели.
