"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Выражение — это запись, которая показывает, какие действия нужно выполнить с числами или буквами. Результат вычислений называют значением выражения. Чтобы найти его, важно соблюдать порядок действий: сначала вычислять в скобках, затем выполнять остальные действия по правилам. Если в записи есть буквы, вместо них подставляют заданные числа и вычисляют получившееся выражение. Эти умения помогают проверять вычисления и составлять формулы для задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, например 18 − 6 + 4. Так записывают вычисление, которое можно выполнить. Запись одного числа тоже может быть выражением: например, значение выражения 8 равно 8.
Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в записи. У выражения 18 − 6 + 4 значение равно 16. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись вычисления от его результата.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий есть буквы, например 5a + 12 : b. Буква может обозначать число, которое пока неизвестно или может меняться. Такая запись позволяет кратко описывать вычисления для разных чисел.
Значение буквенного выражения — результат вычисления после подстановки вместо букв заданных чисел. Например, чтобы найти значение 2a при a = 3, заменяют a числом 3 и вычисляют 2 · 3. Подстановка нужна, когда известно, каким числам равны буквы.
Числовое выражение описывает вычисление: в нём указано, с какими числами и что нужно сделать. Поэтому значение находят не угадыванием, а выполнением записанных действий. Например, в записи 7 + 5 нужно сложить именно эти числа, и результат 12 будет значением выражения.
Если есть скобки, сначала выполняют действия внутри них. Скобки объединяют часть записи и показывают, что её результат нужно получить раньше остальных действий. Поэтому 30 − (8 + 7) · 2 и 30 − 8 + 7 · 2 могут дать разные результаты: скобки меняют порядок вычислений.
Когда действий несколько, порядок задают правила: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Нельзя просто начинать слева и выполнять всё подряд, потому что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием: например, в 2 + 3 · 4 сначала получают 12, а не складывают 2 и 3.
Чтобы вычислить буквенное выражение, вместо букв записывают заданные числа, а затем считают. Подстановка превращает буквенную запись в числовую, с которой уже можно работать по обычным правилам. Если вместо буквы подставляют отрицательное число, его обычно заключают в скобки, чтобы не перепутать знак числа со знаком действия.
Одно буквенное выражение может иметь разные значения при разных числах вместо букв. Например, выражение a + 2 при a = 3 равно 5, а при a = 7 равно 9. Результат меняется, потому что меняется число, которое обозначает буква; сама запись при этом остаётся прежней.
| Что дано | Что обозначает | Как найти значение |
|---|---|---|
| Числовое выражение | Запись действий с числами | Выполнить действия по порядку |
| Буквенное выражение | Запись действий с числами и буквами | Без значений букв результат вычислить нельзя |
| Буквенное выражение с заданными значениями букв | Запись действий, в которой известны числа вместо букв | Подставить числа и выполнить действия по порядку |
Сначала определи, какие данные даны: только числа, буквы или ещё и значения букв. Затем выбери подходящий способ из последнего столбца. Если значения букв не указаны, можно описать вычисление, но получить одно конкретное число обычно нельзя.
Задача 1. Найди значение выражения 18 − 6 + 4. Здесь только сложение и вычитание — действия одной ступени. Их выполняют слева направо, поэтому нельзя сначала вычесть 4 из 6 или переставить слагаемые как угодно. Запишем вычисления по шагам.
Ответ: 16. Полученное число и есть значение исходного выражения.
Задача 2. Найди значение выражения 30 − (8 + 7) · 2. Скобки показывают, что сложение нужно выполнить раньше умножения и вычитания. После этого умножение выполняется раньше вычитания. Если начать с вычитания 30 − 8, вычисление будет идти не по правилам.
Ответ: 0. Мы сначала нашли результат всей части в скобках, а потом использовали его в остальных действиях.
Задача 3. Найди значение выражения 5a + 12 : b при a = 4 и b = 3. Сначала заменим буквы числами, сохранив знаки действий. Получится числовое выражение 5 · 4 + 12 : 3. В нём сначала нужно выполнить умножение и деление, а потом сложение.
Ответ: 24. Подстановка сама по себе не является ответом: после неё нужно вычислить всё получившееся выражение.
Считать выражение и его значение одним и тем же. Ошибка возникает потому, что запись и результат связаны между собой. Но 18 − 6 + 4 — это выражение, а 16 — его значение. Проверь себя: можешь ли ты отдельно назвать запись и число, полученное после вычислений?
Выполнять действия в произвольном порядке. Иногда кажется, что можно просто считать как удобнее, но порядок действий влияет на результат. Например, в 2 + 3 · 4 сначала выполняют умножение. Перед вычислением отметь скобки, умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Забывать скобки при подстановке числа вместо буквы. Это часто случается, если число отрицательное: без скобок знак числа можно принять за знак действия. При a = −2 запись a² нужно превратить в (−2)². Проверь, что подставленное число целиком стоит на месте буквы.
Подставить значения букв и остановиться. Полученная запись уже не буквенная, но вычисление ещё не закончено. Например, после подстановки в 5a + 12 : b получается 5 · 4 + 12 : 3, а не ответ. Проверь, что в конце записано вычисленное число.
Чтобы находить значения выражений, нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа, а также понимать знаки этих действий. Правила порядка действий и скобки позволяют вычислять более сложные числовые выражения. Буквенные выражения пригодятся при изучении формул: с их помощью записывают зависимости между величинами. Подстановка чисел помогает применять такую запись в задачах, даже если значения величин меняются.
Чем выражение отличается от его значения?
Выражение — это запись чисел, букв и действий, которые нужно выполнить. Значение — число, которое получается после вычислений.
Можно ли считать запись без знаков действий выражением?
Запись одного числа, например 8, тоже может быть числовым выражением: её значение равно 8. Но чтобы вычислять действие, в записи должен быть знак действия.
Почему порядок действий влияет на значение выражения?
Разные действия могут давать разные результаты, если менять их порядок. Поэтому действуют по правилам: например, умножение выполняют раньше сложения, а действия в скобках — первыми.
Что делать с буквами в выражении, если их значения заданы?
Вместо каждой буквы нужно подставить указанное число. Затем следует выполнить действия в полученном числовом выражении по правилам порядка действий.
Зачем при подстановке числа вместо буквы иногда нужны скобки?
Скобки помогают сохранить число целиком, особенно если оно отрицательное. Например, при подстановке a = −2 в выражение a² нужно записать (−2)², чтобы возвести в квадрат всё число.
2. Значение выражения
