"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Выражение — это запись чисел и действий, которую можно вычислить. Результат вычисления называют значением выражения. Чтобы получить его правильно, нужно соблюдать порядок действий: сначала выполнить то, что указано в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если в записи есть переменная, сначала вместо неё подставляют заданное число. Эти правила помогают не только вычислять примеры, но и подставлять числа в формулы и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, для которой можно выполнить вычисления. Например, 8 + 5 и 20 : 4 — числовые выражения. В отличие от отдельного числа, такое выражение показывает, какие действия нужно выполнить, чтобы получить результат.
Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех указанных действий. Так, значение выражения 8 + 5 равно 13. Это понятие нужно, чтобы кратко назвать итог вычислений и отличать его от самой записи, по которой мы считали.
Выражение с переменной — запись, значение которой зависит от того, какое число подставлено вместо переменной. Переменную обычно обозначают буквой: например, в записи a + 6 буквой a может быть разное число. Такая запись помогает описывать вычисления, которые подходят для разных значений.
Значение выражения с переменной — результат вычисления после подстановки заданного значения переменной. Например, если a = 4, то значение выражения a + 6 равно 10. Оно нужно, чтобы узнать результат для конкретного числа, выбранного вместо буквы.
Числа можно соединять знаками действий, получая числовое выражение: например, из чисел 7 и 3 составить 7 + 3 или 7 · 3. Такая запись отличается от отдельного числа тем, что в ней указано действие, которое ещё нужно выполнить. Поэтому выражение можно прочитать и понять, что именно требуется вычислить. Скобки тоже входят в запись и показывают, какие части нужно рассматривать вместе.
Найти значение выражения — значит выполнить все действия, которые в нём указаны, и записать полученное число. Например, в выражении 9 + 4 нужно сложить числа, поэтому его значение равно 13. Одной записи действия недостаточно: пока вычисление не выполнено, результат не найден. Для сложных выражений полезно записывать промежуточные шаги, чтобы видеть, откуда взялось каждое число.
В выражениях без скобок действия выполняют не просто в порядке чтения. Сначала делают умножение и деление, потому что по правилам они имеют преимущество перед сложением и вычитанием. Иначе, например, запись 18 − 3 · 4 можно было бы посчитать двумя способами и получить разные ответы. Если действия имеют одинаковый порядок, их выполняют по записи слева направо: так каждый следующий шаг использует уже полученный результат.
Скобки меняют обычную очередность вычислений: сначала выполняют действия внутри них. Это нужно потому, что скобки выделяют часть выражения, которую следует посчитать как одно целое, прежде чем продолжать. Например, в (18 − 3) · 4 сначала находят разность 18 − 3, а уже потом умножают ответ на 4. Если убрать скобки, порядок действий изменится и результат может стать другим.
В выражении с переменной сначала узнают, какое число задано вместо буквы, и подставляют его в запись. Каждое вхождение этой буквы заменяют указанным числом, не меняя знаки действий и скобки. После подстановки получается числовое выражение, которое можно вычислить по обычным правилам. Такой порядок нужен, потому что до выбора числа значение выражения с переменной может быть разным.
| Ситуация | Что выполнять сначала | Как продолжать |
|---|---|---|
| Есть действия в скобках | Действия внутри скобок | Затем применить общий порядок действий |
| Умножение и деление | Умножение и деление | Выполнять слева направо |
| Сложение и вычитание | Сложение и вычитание после умножения и деления | Выполнять слева направо |
| Действия одного порядка | Левое действие | Продолжать по записи слева направо |
Найди в выражении скобки и начни с действий внутри них. Затем выполни умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание слева направо. Если скобок нет, переходи сразу к действиям соответствующего порядка.
В записи есть вычитание и умножение, но скобок нет. Умножение выполняют раньше вычитания, поэтому нельзя начинать с первого действия слева. Сначала узнаем, чему равно произведение 3 и 4, и только затем вычтем его из 18.
Ответ: 6.
Здесь есть скобки, умножение, деление и сложение. Чтобы порядок вычислений был понятен, сначала выполняем действие в скобках. Затем отдельно считаем умножение и деление, а сложение оставляем последним.
Ответ: 64.
Буква a обозначает число, которое задано в условии: a = 7. Сначала заменим букву числом, сохранив все знаки и порядок записи. После подстановки получим выражение только с числами, а значит, сможем вычислить его по обычным правилам.
Ответ: 19.
Иногда сложение выполняют раньше умножения, потому что начинают считать слева направо. Так можно получить неверный результат: без скобок сначала выполняют умножение и деление. Проверь себя: отметь порядок действий и только потом вычисляй. Если в выражении есть умножение или деление, сложение и вычитание подождут.
Другая ошибка — начинать вычисление не со скобок. Это случается, когда скобки принимают за обычные знаки, которые можно учитывать позже. Но скобки указывают, что их содержимое нужно вычислить первым. Проверь себя: прежде чем переходить к другим действиям, найди и посчитай каждую часть в скобках.
При действиях одного порядка можно ошибочно выбрать, какое из них выполнять первым. Например, умножение и деление имеют одинаковый порядок, поэтому их нельзя переставлять или выполнять справа налево. Причина ошибки — желание сгруппировать удобные числа. Проверка простая: двигайся по выражению слева направо и записывай промежуточный результат.
При подстановке иногда заменяют не все буквы или случайно меняют знаки и скобки. Так происходит, если торопиться и не сверить новую запись с исходной. Замени каждое вхождение переменной одним и тем же заданным числом, оставляя остальные символы на месте. Перед вычислением проверь, что после подстановки запись изменилась только в местах, где стояла буква.
Для работы с выражениями нужно знать, что означают сложение, вычитание, умножение и деление, а также уметь читать математические записи. Например, двоеточие обозначает деление, а скобки выделяют часть выражения для вычисления. Поэтому правила порядка действий опираются на уже знакомые арифметические действия. Освоенные вычисления пригодятся при решении уравнений, подстановке чисел в формулы и вычислениях с величинами.
Что называют значением выражения?
Значение выражения — это число, которое получается после выполнения всех указанных действий. Например, значение выражения 6 + 2 равно 8.
В каком порядке выполнять действия в выражении без скобок?
Сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание. Действия одного порядка выполняют слева направо.
Что делать первым, если в выражении есть скобки?
Сначала выполняют действия внутри скобок. После этого продолжают вычисления по обычному порядку действий.
Как поступать, если рядом стоят деление и умножение?
Умножение и деление имеют одинаковый порядок, поэтому их выполняют слева направо. Нельзя выбирать действие произвольно.
Как найти значение выражения, если в нём есть переменная?
Сначала подставляют заданное число вместо каждого вхождения переменной. Затем вычисляют полученное числовое выражение, соблюдая порядок действий.
2. Значение выражения
