"Математика (в 2 частях)", Гейдман Б.П., Мишарина И.Э., Зверева Е.А.
Предметы можно рассматривать по одному, объединять в пары или собирать в группы по общему признаку. Это помогает упорядочить набор и сравнить количество предметов, даже если их трудно быстро пересчитать. Пара всегда состоит ровно из двух предметов, а группа может включать любое число предметов. Чтобы проверить, поровну ли предметов в двух группах, сопоставляют их попарно: если ничего не осталось без пары, количество одинаковое.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пара предметов — это два предмета, которые рассматривают вместе. Например, если соединить одну чашку и одно блюдце, получится пара. Чтобы назвать пару, нужно указать оба предмета, а не один из них. Такое объединение помогает замечать соответствие между предметами.
Группа предметов — несколько предметов, которые рассматривают вместе или объединяют по выбранному основанию. Например, набор игрушек можно считать одной группой, а затем выделить в нём отдельные подгруппы. Группы помогают упорядочивать предметы, чтобы их было легче описывать и сравнивать. Число предметов в группе может быть разным.
Общий признак — свойство, которое есть у предметов, собранных в одну группу. Это может быть цвет, форма, размер или назначение. Если признак назван, понятно, почему предметы оказались вместе. Он нужен, чтобы группировать предметы не случайно, а по понятному правилу.
Сравнение групп по количеству — выяснение, где предметов больше, где меньше или поровну. Для этого предметы можно пересчитать либо сопоставить по одному из разных групп. При сопоставлении видно, всем ли предметам нашлась пара. Так можно сравнить наборы, даже если их предметы отличаются внешне.
Предметы объединяют в пары, когда хотят рассматривать их по два. В каждой паре должно быть ровно два предмета: один предмет сам по себе парой не является, а три предмета уже образуют другую группу. Такое правило делает пары одинаковыми по составу. Поэтому, называя пару, мы указываем оба предмета, которые взяты вместе.
Чтобы выделить в наборе все возможные пары, выбирают два ещё не использованных предмета и соединяют их. Затем повторяют действие с оставшимися предметами, пока это возможно. Такой порядок нужен, чтобы каждый предмет участвовал только один раз и ни один не потерялся. Если после этого предмет остался, он не составил пару; если предметов не осталось, весь набор разобран.
Одну совокупность предметов можно разделить на группы по разным признакам. Например, фрукты можно объединить по цвету, а затем рассортировать по виду. Выбор признака зависит от того, что именно мы хотим узнать или показать. Если заранее назвать признак, легче решить, к какой группе отнести каждый предмет, и не смешать разные основания.
Чтобы проверить, одинаково ли количество предметов в двух группах, сопоставляют предметы попарно. Берут по одному предмету из каждой группы и мысленно или на рисунке соединяют их. Это надёжнее, чем смотреть на то, как предметы расположены: ряды могут быть разной длины из-за промежутков. Если каждому предмету одной группы соответствует свой предмет другой, количество совпадает.
Если после сопоставления остались предметы, нужно установить, из какой группы они взяты. В этой группе предметов больше, потому что часть её предметов не получила соответствия во второй группе. В другой группе предметов меньше. Если сопоставлены все предметы и ни одного лишнего нет, группы равны по количеству; размер предметов на этот вывод не влияет.
Таблица подсказывает, что можно рассматривать: отдельные пары, группы по признаку или две группы для сравнения. Сначала выбери способ действия, затем проверь полученный результат. В примере особенно полезно отметить, остались ли предметы без пары.
| Что рассматриваем | Как действовать | Что можно выяснить | Пример |
|---|---|---|---|
| Пара предметов | Взять и назвать два предмета вместе | Какие предметы образуют пару | Чашка и блюдце |
| Группа по общему признаку | Выбрать признак и отнести к группе подходящие предметы | Какие предметы обладают этим свойством | Круглые предметы |
| Сопоставление двух групп попарно | Соединить по одному предмету из каждой группы | Поровну ли предметов, где их больше или меньше | Чашки и блюдца |
| Предметы, оставшиеся без пары | Проверить, из какой группы взят каждый оставшийся предмет | Какая группа больше по количеству | Одна чашка без блюдца |
Задача. На столе лежат четыре карандаша. Разложи их парами и скажи, остался ли карандаш без пары. Нужно распределить карандаши так, чтобы каждый был использован ровно один раз. Если все четыре войдут в пары, остатка не будет.
Ответ: получились две пары, карандаш без пары не остался. Четыре предмета удалось распределить по два, потому что после составления первой пары остались ещё ровно два карандаша. Проверка всех предметов помогает не пропустить карандаш.
Задача. Среди изображённых предметов есть круглые и квадратные. Раздели их на группы и объясни, по какому признаку ты это сделал. Здесь нужно не сравнить количество, а сначала определить общий признак каждой группы. Каждый предмет должен попасть туда, форме которой он соответствует.
Ответ: получились группа круглых предметов и группа квадратных предметов; общий признак — форма. Если какой-то предмет не относится ни к одной группе, значит, правило нужно уточнить или выбрать дополнительную группу. Название признака объясняет, почему предметы разделены именно так.
Задача. На одной полке стоят пять чашек, на другой — четыре блюдца. Сопоставь чашки и блюдца попарно. Где предметов больше и как это определить? Не нужно сравнивать размеры посуды или длину полок: важен только результат составления пар. Каждой чашке можно подобрать не более одного блюдца.
Ответ: чашек больше, одна чашка останется без пары. Четыре блюдца образуют пары с четырьмя чашками, а пятая чашка не получает соответствия. Именно оставшийся предмет показывает, что чашек больше на одну.
Иногда парой называют любые два предмета, даже если их не рассматривают вместе. Так происходит, когда забывают, что слово «пара» обозначает именно объединение двух предметов, а не просто их соседство. Чтобы проверить себя, назови оба предмета и объясни, что они взяты вместе. Если каждый рассматривается отдельно, пары нет.
При раскладывании предметов по парам один предмет могут использовать дважды или случайно пропустить. Это случается, если не следить за уже выбранными предметами. Проверь набор по порядку: каждый предмет должен встретиться ровно в одной паре. После проверки не должно остаться незамеченных предметов.
Предметы могут объединить в группу без общего основания. Часто так происходит, когда выбирают их наугад или замечают разные признаки у разных предметов. Назови свойство, которое подходит всем предметам группы, например цвет или форму. Если не получается сформулировать одно общее правило, состав группы нужно пересмотреть.
Количество иногда оценивают по величине предметов или по тому, как они расположены. Крупные предметы могут создавать впечатление, что их больше, а широкие промежутки — менять длину ряда. Для проверки пересчитай предметы или сопоставь их попарно. Если сравниваешь группы, смотри на предметы без пары, а не на их размер.
Чтобы работать с предметами, нужно уметь замечать и называть их признаки, а также сравнивать их между собой. Сопоставление попарно пригодится при сравнении чисел и поможет проверить, поровну ли предметов в двух наборах. Объединение по общему признаку подготавливает к изучению множеств и классификации. Те же способы рассуждения помогают распределять предметы по правилам и решать задачи.
Что именно называют парой предметов?
Парой называют два предмета, которые рассматривают вместе. Например, чашка и блюдце могут составить пару, если мы соединили именно эти два предмета.
Как проверить, что все предметы разложены по парам?
Соедини предметы по два так, чтобы каждый участвовал только в одной паре. Затем проверь, что ни один предмет не пропущен и не использован дважды. Если предмет остался один, все предметы разделить на пары без остатка не удалось.
Можно ли разделить одни и те же предметы на группы по-разному?
Да, если выбрать разные признаки. Например, карандаши можно разделить по цвету, а можно — по длине. Нужно каждый раз назвать признак, по которому составлены группы.
Как сравнить две группы, не пересчитывая предметы?
Соедини предметы из разных групп попарно: одному предмету первой группы должен соответствовать один предмет второй. Если пары составлены и предметов без пары нет, в группах поровну. Оставшийся предмет показывает, в какой группе их больше.
Что означает предмет, оставшийся без пары?
При сравнении двух групп он показывает, что в одной группе предметов больше, чем в другой. Чтобы определить, в какой именно, посмотри, из какой группы этот предмет. Если пары составляли внутри одного набора, одиночный предмет означает, что набор нельзя полностью разделить на пары.
Урок 10-11. Пары и группы предметов
