Урок 8-9. Квадрат, круг, прямоугольник, треугольник

Определения и обозначения

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые. Чтобы распознать его, проверьте обе части определения: равенство каждой стороны и наличие четырёх прямых углов. Одних равных сторон или одних прямых углов недостаточно. Эти признаки помогают отличить квадрат от других четырёхугольников.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность — это замкнутая линия, а круг включает и саму линию, и всю область внутри неё. Поэтому круг можно закрасить целиком, а окружность можно изобразить одной тонкой линией. Такое различие нужно, чтобы точно описывать расположение точек и границы фигуры.

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. У него равны противоположные стороны: каждая пара сторон, лежащих напротив друг друга, имеет одинаковую длину. При этом соседние стороны могут быть разными. По прямым углам распознают прямоугольник, а по равенству сторон уточняют, не является ли он квадратом.

Треугольник — фигура, ограниченная тремя отрезками. Эти отрезки называют сторонами, точки их соединения — вершинами, а углы между сторонами — углами треугольника. У фигуры по три стороны, вершины и угла. Названия помогают точно описывать чертёж и указывать, какие элементы сравнивают или измеряют.

Как это устроено

Многоугольник узнают по границе, которая состоит из отрезков. На концах отрезки соединяются, образуя вершины и углы; у круга таких углов нет, потому что его граница — плавная замкнутая линия. Поэтому для распознавания достаточно проследить границу: если она состоит из прямых частей, перед нами многоугольник, а не круг. Круг при этом не сводится к линии: он занимает и область внутри неё.

У треугольника ровно три стороны и три вершины, потому что его границу образуют три соединённых отрезка. Концы каждого отрезка встречаются с концами соседних, поэтому получается замкнутая фигура. Меньшее число отрезков не замкнуло бы область, а дополнительные отрезки образовали бы уже многоугольник с большим числом сторон. Так связаны число сторон и число вершин треугольника.

Квадрат связан с прямоугольником через общий признак: у обеих фигур все четыре угла прямые. Но квадрат должен удовлетворять ещё одному условию — все его стороны равны. Поэтому каждый квадрат подходит под определение прямоугольника, а прямоугольник с разными соседними сторонами квадратом не будет. Одно название не отменяет другого: квадрат — особый вид прямоугольника.

Чтобы проверить четырёхугольник, сначала посчитайте его стороны и убедитесь, что углов четыре. Затем проверьте углы: если все они прямые, фигура является прямоугольником. После этого сравните длины сторон: равенство всех четырёх показывает, что перед вами квадрат. Такой порядок удобен, потому что отделяет общий признак прямоугольника от дополнительного признака квадрата.

На рисунке центр круга обычно отмечают точкой, например O, а радиусом называют отрезок от центра до точки на окружности. Чтобы найти радиус, выберите центр и любую точку на границе, затем соедините их отрезком. Все такие отрезки равны, потому что каждый идёт от одного и того же центра до одной и той же окружности. Поэтому обозначение OA указывает на радиус, если A лежит на окружности.

Как различать основные геометрические фигуры

Сначала найдите в таблице число сторон и вид границы, а затем сравните вершины и углы. Для квадрата и прямоугольника особенно важна последняя колонка: прямые углы есть у обоих, а равенство всех сторон отличает квадрат. Для круга проверьте, рассматриваете ли вы только границу или также внутреннюю область.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён четырёхугольник с четырьмя прямыми углами и равными сторонами. Назовите фигуру и укажите признаки, по которым её можно узнать.

1. Фигура названа четырёхугольником, значит, у неё четыре стороны.
2. Все четыре угла прямые — это признак прямоугольника.
3. Все стороны равны — дополнительный признак квадрата; условие о прямых углах также выполнено.

Ответ: это квадрат. Его узнают по четырём прямым углам и равенству всех четырёх сторон; одновременно он является прямоугольником.

Задача 2. Начертите прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см. Отметьте равные стороны и прямые углы. Объясните, почему эта фигура не является квадратом.

1. Начертите четырёхугольник с прямыми углами и подпишите две соседние стороны: 6 см и 3 см.
2. Укажите, что сторона напротив стороны длиной 6 см тоже равна 6 см, а противоположная стороне 3 см — 3 см.
3. Сравните соседние стороны: 6 см не равно 3 см, поэтому равенства всех четырёх сторон нет.

Ответ: начерченная фигура — прямоугольник, но не квадрат. У неё все углы прямые и равны противоположные стороны, однако стороны имеют две разные длины.

Задача 3. Начертите круг с центром O и радиусом 3 см. Отметьте точку A на границе и точку B внутри круга. Определите, чему равен отрезок OA, и объясните, почему точка B не лежит на окружности.

1. Поставьте точку O, отмерьте от неё 3 см и проведите окружность; её граница на расстоянии 3 см от центра.
2. Выберите на границе точку A и соедините её с O. Отрезок OA — радиус, поэтому его длина равна заданным 3 см.
3. Отметьте B внутри круга, не на линии границы. Внутренняя часть входит в круг, но не входит в окружность как линию.

Ответ: OA = 3 см. Точка B не лежит на окружности, потому что расположена внутри круга, а не на его границе.

Типичные ошибки

Называть окружность кругом — значит смешивать границу и область внутри неё. Ошибка возникает потому, что в обычной речи эти слова иногда употребляют как похожие, а на рисунке видна прежде всего линия. Проверьте себя: если фигура обозначает только контур, это окружность; если вместе с контуром учитывается внутренняя часть, это круг.

Не каждый прямоугольник является квадратом: прямые углы сами по себе не гарантируют равенства всех сторон. Эту ошибку допускают, когда запоминают лишь часть определения квадрата. Чтобы проверить себя, сравните длины всех четырёх сторон после проверки углов. Если стороны не все равны, фигура не квадрат.

Квадрат и прямоугольник не являются взаимоисключающими фигурами: квадрат удовлетворяет определению прямоугольника, потому что у него все углы прямые. Путаница появляется, когда считают, что названия обязаны обозначать совершенно разные фигуры. Сверьтесь с признаками: у квадрата есть все свойства прямоугольника и дополнительное свойство — равенство всех сторон.

У треугольника три вершины и три стороны, но это разные элементы фигуры. Вершины — точки, где встречаются стороны, а стороны — отрезки между вершинами; их путают, если считать элементы только по рисунку. Проверьте себя, проследив границу: у каждого из трёх отрезков есть концы, а соединённые концы дают три вершины.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать эти фигуры, нужно уметь распознавать отрезок, угол и прямой угол, а также понимать, что называют вершиной. Отрезки образуют стороны многоугольников, а в точках их соединения возникают вершины и углы. Поэтому знакомые элементы помогают читать чертежи и проверять определения фигур. Например, без понятия прямого угла нельзя проверить, является ли четырёхугольник прямоугольником.

Признаки квадрата, прямоугольника, круга и треугольника пригодятся при изучении периметра и площади. Для вычислений важно понимать, какие элементы относятся к границе фигуры, а какие — к её внутренней части. Эти же знания используют при чтении чертежей и решении геометрических задач: по обозначенным сторонам, вершинам и углам можно установить, какая фигура дана и какие свойства применить.

Что запомнить

• У треугольника три стороны, три вершины и три угла.
• У прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны.
• У квадрата все стороны равны и все углы прямые.
• Каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник — квадрат.
• Круг включает внутреннюю часть, а окружность является его границей.
• Все радиусы одного круга равны.