Урок 7. Какого цвета?

Определения и обозначения

Логическая задача — задача, в которой ответ находят, сопоставляя данные условия, а не выполняя только вычисления. Например, приходится выяснять, кому достался красный карандаш, используя подсказки о выборе учеников. Это определение помогает понять, что главная работа здесь — рассуждать и проверять связи между сведениями. Вычисления могут совсем не понадобиться.

Условие — сведения и ограничения, заданные в задаче и выполняющиеся одновременно. Сведения называют предметы или цвета, а ограничения уточняют, какими могут быть их сочетания. Если в задаче сказано, что цвета разные, это правило относится ко всем предметам, а не только к паре из одной подсказки. Поэтому полезно выписать условие целиком.

Вариант ответа — одно из возможных предположений об ответе, которое проверяют по условию. Например, вариант может утверждать, что первый предмет синий, второй жёлтый, а третий красный. Само по себе такое предположение ещё не является решением. Оно нужно, чтобы проверить, согласуется ли сочетание со всеми подсказками.

Исключение вариантов — способ решения, при котором неподходящие предположения последовательно отбрасывают. Вариант исключают, если он приводит к противоречию хотя бы с одним заданным ограничением. Этот способ помогает не угадывать, а обосновывать ответ. Если же условие ничего не говорит о варианте, этого недостаточно, чтобы его отбросить.

Как это устроено

Сначала выдели из текста все сведения: какие предметы нужно сопоставить, какие цвета возможны и какие подсказки даны. Затем отдельно выпиши ограничения, например «все предметы разного цвета» или «одно утверждение неверно». Это нужно потому, что подсказки могут находиться в разных предложениях, но вместе описывают одну ситуацию. Если пропустить даже одно ограничение, можно получить ответ, который подходит к части текста, но не к задаче целиком.

Полезно перечислить возможные ответы до выбора подходящего. Иначе первое правдоподобное предположение может показаться единственным, хотя есть и другие сочетания. Перебор делает рассуждение проверяемым: видно, какие варианты уже проверены, а какие ещё нет. При этом не обязательно записывать каждую перестановку подробно, если таблица или подсказки сразу помогают сузить выбор.

Каждый вариант проверяй по всем условиям, а не только по одной подсказке. Например, сочетание может объяснять, почему первый предмет не красный, но нарушать правило о разных цветах. Поэтому для каждого предположения последовательно пройди по всем ограничениям и отметь, где оно подходит или противоречит тексту. Одного противоречия достаточно, чтобы исключить вариант.

Когда предметов и цветов несколько, сведения удобно записать в таблицу. В строках можно разместить предметы или этапы проверки, а в столбцах — возможные цвета и результаты. Отметки помогают увидеть, какие сочетания ещё возможны, а какие уже исключены; кроме того, они не дают случайно повторно проверить один и тот же вариант. Таблица особенно полезна, если подсказки относятся к разным парам предметов.

После исключения неподходящих сочетаний проверь оставшийся ответ по исходному условию. Такая проверка нужна, потому что ошибка могла появиться раньше: например, при переносе подсказки в таблицу или при неполном переборе. Убедись, что ответ соблюдает каждое ограничение и что другие варианты действительно невозможны. Тогда решение будет не просто догадкой, а выводом из условий.

Проверка вариантов в логической задаче

Заполняй таблицу по мере проверки, а не заранее ставь отметки наугад. Для каждого сочетания отмечай, какая подсказка его подтверждает или исключает. В конце проверь оставшиеся сочетания по всем ограничениям задачи.

Разбор задач

У трёх предметов — мяча, кубика и книги — разные цвета: красный, синий и зелёный. Известно, что мяч не красный, а книга зелёная. Определи цвет каждого предмета. Сначала перечислим предметы и цвета, затем учтём обе подсказки вместе с правилом о разных цветах.

1. Книге соответствует зелёный цвет. Поэтому зелёный уже занят и не может достаться мячу или кубику.
2. Мяч не красный, а зелёный ему тоже не подходит: этот цвет уже у книги. Значит, мяч синий.
3. Остаётся красный цвет, и по правилу разных цветов он достаётся кубику.

Ответ: мяч синий, кубик красный, книга зелёная. Проверка подтверждает обе подсказки, и все три цвета использованы по одному разу. Другого распределения нет: книга уже занимает зелёный, а мяч не может быть ни зелёным, ни красным.

Три ученика — Аня, Боря и Вика — выбрали разные карандаши: красный, синий и жёлтый. Аня говорит: «У меня синий», Боря: «У меня не синий», Вика: «У меня красный». Известно, что верны ровно два утверждения, а одно неверно. Определим распределение. Будем проверять предположения и каждый раз учитывать как разные карандаши, так и число верных фраз.

1. Предположим, у Ани синий карандаш. Тогда фраза Ани верна, а фраза Бори неверна, потому что при разных карандашах Боря не может быть с синим. Для ровно двух верных утверждений Вика должна сказать правду, но красный уже нельзя отдать и Ане, и Вике. Это предположение невозможно.
2. Пусть у Ани красный карандаш. Её утверждение неверно, а слова Вики о красном тоже неверны. Получаются уже две неверные фразы, поэтому такой вариант не подходит.
3. Остаётся жёлтый карандаш у Ани. Тогда её фраза неверна. Если у Вики красный, её фраза верна, а Боре достаётся синий и его слова неверны. Неверных фраз снова две, поэтому этот вариант исключается.
4. Значит, у Вики не красный. Чтобы её фраза была единственной неверной, Аня должна иметь синий, а Боря — красный; но слова Бори тогда неверны. Проверка показывает противоречие, следовательно, исходные утверждения не задают возможного распределения.

Ответ: при таком наборе высказываний решения нет. Это тоже результат проверки: нельзя назначать цвета, если предположения противоречат числу верных утверждений. Перед решением полезно убедиться, что данные задачи совместимы.

Четыре предмета стоят в ряд слева направо: чашка, мяч, книга и коробка. Их цвета — красный, синий, зелёный и жёлтый, все разные. Чашка не красная и не синяя; мяч стоит левее зелёного предмета; книга стоит сразу справа от синего предмета; коробка жёлтая. Найдём все соответствия поэтапно. Сначала используем самые определённые подсказки, а затем проверим расположение.

1. Коробка жёлтая. Чашка не может быть ни красной, ни синей; жёлтый уже занят коробкой, значит, чашка зелёная.
2. Мяч стоит левее зелёного предмета. Зелёная чашка стоит первой, поэтому слева от неё предмета быть не может. Получаем противоречие: условие в таком виде несовместимо.
3. Это противоречие возникло независимо от цвета книги и мяча. Значит, остальные подсказки не могут исправить ситуацию; нужно проверить, не ошиблись ли мы при переносе условия или не перепутали направление расположения.

Ответ: с данными формулировками распределения нет. Чашка обязана быть зелёной, но мяч не может стоять левее первого предмета. Разбор показывает, почему полезно применять таблицу и проверять следствия подсказок, а не пытаться любой ценой подобрать ответ.

Типичные ошибки

Учитывают только одну подсказку. Тогда можно выбрать сочетание, которое подходит к одной фразе, но нарушает другое ограничение. Такое случается, когда решающий торопится и отмечает удачное совпадение как готовый ответ. Проверь себя: пройди по списку условий и отметь, где подтверждается каждое из них.

Принимают первое правдоподобное предположение за ответ. Оно может выглядеть убедительно, но оставаться одним из нескольких возможных сочетаний. Эту ошибку допускают, когда не перебирают альтернативы. Проверь, можно ли составить другой ответ без противоречий, и только после этого делай вывод об единственности.

Путают «неизвестно» и «невозможно». Если о цвете предмета ничего не сказано, это не значит, что цвет запрещён. Иногда вариант исключают лишь потому, что подсказка его не подтверждает. Проверь себя: для каждого вычеркнутого сочетания найди конкретное условие, которому оно противоречит.

Допускают одинаковые цвета при условии, что все они разные. Так бывает, если проверяют подсказки по одной и забывают об общем ограничении. В таблице сочетания могут казаться подходящими по отдельности, но нарушать правило для всей задачи. Проверь, не назначен ли один цвет нескольким предметам, и сравни число предметов с числом разных цветов.

Связь с другими темами

Для решения задачи нужно внимательно читать условие, отличать известные данные от вопроса и замечать ограничения. Этот навык пригодится и в других задачах: прежде чем искать ответ, важно понять, что именно дано и что требуется найти. Перебор и исключение вариантов используются в задачах на соответствия, комбинаторику и рассуждения о возможных исходах. Таблицы помогают упорядочить такие сведения и сравнить варианты.

Что запомнить

• Сначала выпиши все данные и ограничения.
• Перечисли возможные варианты ответа.
• Каждый вариант проверь по всем условиям.
• Не исключай вариант без основания.
• Таблица помогает не потерять сведения и увидеть противоречия.
• В конце проверь ответ по исходному условию.