Урок 101-108. На сколько больше? На сколько меньше?

Определения и обозначения

Разность — результат вычитания одного числа из другого. Например, в записи 9 − 6 = 3 разность равна 3. При сравнении величин она показывает, насколько одна отличается от другой, поэтому помогает дать точный ответ на вопрос «на сколько?».

Вопрос «на сколько больше» означает, что нужно найти разницу между большим и меньшим числами. Чтобы узнать, на сколько первое число больше второго, из первого вычитают второе, если первое действительно больше. Такое действие переводит словесное сравнение в вычисление и показывает величину превышения.

Вопрос «на сколько меньше» тоже требует найти разность. Чтобы узнать, на сколько первое число меньше второго, из большего числа вычитают меньшее, то есть в этом случае из второго вычитают первое. Так можно узнать величину уменьшения, не принимая выражение «меньше» за отдельное действие.

Разностное сравнение — это сравнение двух величин с помощью вычитания. Его результат показывает величину различия, а не отношение величин друг к другу. Понятие нужно, чтобы отличать вопросы «на сколько?» и «во сколько раз?» и выбирать для них разные действия.

Как это устроено

Сравнивая два числа, можно представить их точками на числовом луче. Расстояние между точками равно разности большего и меньшего числа: например, между 6 и 9 — три единичных шага. Именно поэтому вычитание показывает не просто результат действия, а длину промежутка между числами.

Если спрашивают, на сколько больше первое число, чем второе, сначала проверь, что первое число больше. Тогда из него вычитают второе: в выражении A − B число A будет уменьшаемым, а B — вычитаемым. Такой порядок имеет смысл для этой формулировки только при A > B, потому что речь идёт о положительной разнице в начальной модели сравнения.

Если спрашивают, на сколько меньше первое число, чем второе, больше уже второе число. Поэтому из второго числа вычитают первое. Полученная разность совпадает с той, которая показывает, на сколько второе число больше первого: меняется словесная формулировка, но промежуток между числами остаётся тем же.

Порядок вычитания выбирают не по тому, какое число раньше встретилось в условии, а по размеру величин. Сначала установи, что больше, и только потом записывай действие: большее число ставь перед знаком минус. Так ответ будет обозначать разницу, а не отрицательное число, которое не подходит для обычной модели сравнения в таких задачах.

Разностное сравнение нельзя смешивать с кратным сравнением. Разность отвечает на вопрос «на сколько?», поэтому нужно вычитать; деление отвечает на вопрос «во сколько раз?». Например, для чисел 12 и 4 разность равна 8, а частное — 3: это разные сведения об одной паре чисел.

Как найти, на сколько одна величина больше или меньше другой

Сначала найди в строке таблицы формулировку, похожую на вопрос задачи, затем сравни величины и выбери большее число уменьшаемым. Если в задаче спрашивают «во сколько раз», таблица напоминает, что нужно уже не вычитать, а делить. После вычисления прочитай ответ с названием величины.

Разбор задач

Задача: в одной коробке 9 карандашей, в другой — 6. На сколько карандашей в первой коробке больше? В вопросе сравниваются два количества предметов, а слова «на сколько» указывают на разностное сравнение. Нужно определить большее количество и найти, сколько карандашей отделяет его от меньшего.

1. Сравним количества: 9 больше 6, значит, в первой коробке карандашей больше. Это определяет порядок вычитания, даже если расположение предметов в коробках мысленно поменять.
2. Вычтем меньшее количество из большего: 9 − 6 = 3. Полученное число показывает разницу между коробками, а не количество карандашей в какой-либо из них.
3. Назовём ответ с указанием предметов и коробки, о которой спрашивали. Проверка: если к шести карандашам добавить найденную разницу, получится девять.

Ответ: в первой коробке на 3 карандаша больше.

Задача: на полке 14 книг, а на столе 8. На сколько книг на столе меньше, чем на полке? Первым названо большее количество, но при решении важна не очередность чисел в тексте, а смысл вопроса. Стол — место, где книг меньше; искомое число показывает разницу между полкой и столом.

1. Определим большее и меньшее количества: 14 книг на полке — большее, 8 книг на столе — меньшее. Значит, для нахождения разницы уменьшаемым будет 14.
2. Вычтем количество книг на столе из количества книг на полке: 14 − 8 = 6. Это число говорит, насколько полочное количество превышает количество на столе.
3. Соотнесём вычисление с формулировкой «на столе меньше»: разность показывает, сколько книг не хватает на столе до количества на полке. При проверке 8 + 6 = 14.

Ответ: на столе на 6 книг меньше, чем на полке.

Задача: в первой корзине 23 яблока, во второй на 7 яблок меньше. Сколько яблок во второй корзине и на сколько яблок первая корзина больше второй? Здесь сначала дано не количество яблок во второй корзине, а его сравнение с количеством в первой. Поэтому сперва нужно найти неизвестное количество, а затем ответить на вопрос о разнице.

1. В первой корзине 23 яблока, а во второй на 7 меньше. Чтобы найти меньшее количество, вычтем из 23 число 7: 23 − 7 = 16.
2. Теперь сравним полученные количества: 23 больше 16. Найдём, на сколько первая корзина больше второй: 23 − 16 = 7.
3. Проверим смысл обоих результатов: во второй должно быть на 7 меньше, чем 23, и 16 + 7 действительно равно 23. Укажем оба ответа отдельно, чтобы не перепутать количество и разницу.

Ответ: во второй корзине 16 яблок; в первой на 7 яблок больше.

Типичные ошибки

Ошибка — вычитать числа в том порядке, в котором они названы в условии. Так можно получить отрицательную разность или неверный ответ для задачи, где сравнивают обычные количества; часто это происходит, когда ученик замечает числа, но не определяет, какое больше. Перед вычислением сравни величины и проверь, что уменьшаемое больше вычитаемого.

Ошибка — путать вопросы «на сколько?» и «во сколько раз?». Они звучат похоже, но требуют разных действий: разность находят вычитанием, а отношение — делением; путаница возникает из-за того, что в обоих случаях сравнивают одни и те же числа. Проверь ключевые слова и спроси себя, нужна ли разница или количество раз.

Ошибка — думать, что для вопросов «на сколько больше» и «на сколько меньше» обязательно нужны разные вычисления. Для одной пары величин промежуток один и тот же, но ученика может сбить противоположное звучание вопросов. Проверь результат на примере: вычитание большего из меньшего в правильном порядке даёт ответ для обеих формулировок.

Ошибка — записать только действие и не пояснить, к чему относится ответ. Тогда число может быть верным, но непонятно, говорится ли о разнице, остатке или количестве предметов; особенно легко ошибиться в составной задаче. Добавь единицу измерения и назови сравниваемые величины, а затем перечитай ответ вместе с вопросом.

Связь с другими темами

Для разностного сравнения нужны умения сравнивать натуральные числа и выполнять вычитание. Если эти действия пока вызывают затруднение, сначала сравни числа по величине, а затем повтори вычитание столбиком или устно. Без этого трудно правильно определить порядок чисел.

Тема связана с задачами на нахождение остатка и неизвестного компонента вычитания. В таких задачах тоже используют вычитание, но смысл результата зависит от условия: он может обозначать остаток или разницу между двумя величинами. Поэтому важно не только посчитать, но и объяснить, что найдено.

Разностное сравнение пригодится в задачах на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и при сравнении величин. Например, можно выяснить, на сколько отличаются длины или количества предметов. Этот способ помогает переводить словесные условия в подходящее действие.

Что запомнить

• Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, найди их разность.
• Из большего числа вычитай меньшее.
• Разность показывает, насколько отличаются величины.
• Вопрос «на сколько?» обычно означает вычитание.
• Вопрос «во сколько раз?» означает сравнение делением.
• Проверь, что ответ соответствует вопросу и названной величине.