Урок 98-100. Измерение отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обычно обозначают буквами его концов, например AB. Это понятие нужно, чтобы точно указывать, какую часть прямой мы измеряем или сравниваем.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Например, можно договориться, что выбранный отрезок длиной 1 см будет служить мерой для других отрезков. Общая единица позволяет получать понятные и сопоставимые результаты.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единичный отрезок или его доля укладывается в данном отрезке. Например, если в отрезке помещаются пять единичных отрезков, его длина равна пяти единицам. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и выполнять вычисления с ними.

Единица длины — принятая мера, с помощью которой выражают длину: например, миллиметр, сантиметр, дециметр или метр. Одну и ту же длину можно записать в разных единицах, но числовые значения будут различаться. Поэтому при сравнении и вычислениях нужно знать, в каких единицах указана длина.

Как это устроено

Сначала выбирают единичный отрезок, потому что без общей меры нельзя однозначно сравнить длины. Если один человек измеряет путь короткими шагами, а другой длинными, числа у них получатся разными, хотя сам путь не изменится. Единая единица превращает сравнение в точное измерение. В повседневной жизни такой мерой чаще всего служат миллиметр, сантиметр или метр.

Для измерения линейкой совмести нулевую отметку с одним концом отрезка. Затем посмотри, напротив какой отметки находится другой конец: это число и будет длиной, если начало действительно стоит у нуля. Отсчёт ведут от нулевой отметки, а не обязательно от края линейки, потому что край может не совпадать с нулём или быть повреждён. Проверь, что линейка лежит вдоль отрезка, а не наклонно.

Длина самого отрезка не зависит от того, в каких единицах её записывают, но численное значение зависит. Например, метр длиннее сантиметра, поэтому в одном метре укладывается меньше метров, чем сантиметров: 1 м = 100 см. При переходе к более мелкой единице число становится больше, а при переходе к более крупной — меньше. Это помогает проверить, верно ли выполнен перевод.

Иногда длина не выражается целым числом выбранных единиц. Тогда используют деления шкалы, которые показывают доли единицы, или переходят к более мелкой единице измерения. Например, отрезок длиной 4 см 6 мм можно записать как 46 мм. Чем точнее требуется измерить, тем более мелкую шкалу или единицу выбирают.

Если весь отрезок составлен из нескольких частей, и они идут одна за другой без пропусков и наложений, его длина равна сумме длин этих частей. Это следует из того, что при прохождении всего отрезка мы последовательно проходим каждую часть. Перед сложением нужно выразить длины в одинаковых единицах либо складывать отдельно сантиметры и миллиметры. Полученное число удобно проверить, мысленно сложив части обратно.

Единицы длины и соотношения между ними

Чтобы перевести длину, найди в таблице соотношение между исходной и нужной единицами. При переходе к меньшей единице число умножают, а при переходе к большей — делят. Если в записи несколько единиц, переведи каждую часть отдельно, а затем сложи.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте отрезок AB линейкой, если его концы совпали с отметками 2 см и 7 см. Здесь отрезок начинается не у нулевой отметки, поэтому показание у конца само по себе не является его длиной. Нужно найти расстояние между двумя показаниями.

1. Определи показания у концов: 2 см и 7 см.
2. Вычти меньшее показание из большего: 7 − 2 = 5.
3. Запиши результат в тех же единицах, что и отметки линейки: 5 см.

Ответ: длина AB равна 5 см. Проверка: от отметки 2 см до 7 см проходят пять промежутков по 1 см.

Задача 2. Выразите 3 м 8 см в сантиметрах, а затем в миллиметрах. В составной записи есть метры и сантиметры, поэтому сначала переведём всё в сантиметры. Затем сантиметры переведём в миллиметры, используя соотношения единиц.

1. Переведи метры в сантиметры: 3 м = 3 · 100 см = 300 см.
2. Прибавь оставшиеся 8 см: 300 см + 8 см = 308 см.
3. Переведи сантиметры в миллиметры: 308 см = 308 · 10 мм = 3080 мм.

Ответ: 3 м 8 см = 308 см = 3080 мм. При проверке можно заметить, что результат в миллиметрах численно больше, потому что миллиметр меньше сантиметра.

Задача 3. Отрезок AC состоит из частей AB длиной 4 см 6 мм и BC длиной 3 см 8 мм. Найдите AC и выразите результат в сантиметрах и миллиметрах. Части следуют одна за другой, значит, длины нужно сложить. Удобно сначала сложить сантиметры и миллиметры отдельно, а затем преобразовать лишние миллиметры.

1. Сложи сантиметры: 4 см + 3 см = 7 см.
2. Сложи миллиметры: 6 мм + 8 мм = 14 мм.
3. Замени 10 мм на 1 см: 14 мм = 1 см 4 мм.
4. Прибавь полученный сантиметр к 7 см: 7 см + 1 см 4 мм = 8 см 4 мм.

Ответ: AC = 8 см 4 мм. Проверка: 4 см 6 мм + 3 см 8 мм составляет 84 мм, то есть 8 см 4 мм.

Типичные ошибки

Начинают измерять от края линейки, а не от нулевой отметки. Так делают, потому что край кажется естественным началом шкалы, но он может не совпадать с нулём. Чтобы проверить измерение, убедись, что один конец отрезка стоит у отметки 0; если это невозможно, вычти показания концов.

Вычитают показания линейки в неправильном порядке или принимают показание у дальнего конца за длину. Из-за этого результат может оказаться отрицательным или слишком большим. Длина должна быть положительной и равна большему показанию минус меньшее. Проверь, что полученное число соответствует расстоянию между отметками.

Складывают или сравнивают длины, записанные в разных единицах, без перевода. Например, числа 5 и 20 нельзя сразу складывать, если первое дано в сантиметрах, а второе — в миллиметрах. Сначала приведи значения к одной единице или сложи отдельно одноимённые единицы. Перед вычислением полезно подписать единицы рядом с каждым числом.

Считают штрихи на линейке вместо промежутков между ними. Единица шкалы — это расстояние между соседними отметками, поэтому число промежутков на один меньше числа ограничивающих их штрихов. Чтобы не ошибиться, отмечай начало и конец измеряемого участка и считай именно шаги между ними. Например, от нуля до отметки 5 см — пять сантиметровых промежутков.

Связь с другими темами

Для работы с длиной нужно знать, что такое отрезок, где находятся его концы и как точки располагаются на прямой. Эти знания помогают понять, что именно измеряется и где начинается и заканчивается отрезок. Также требуется уметь пользоваться линейкой и читать её деления. Измерение пригодится при сравнении геометрических фигур, нахождении периметра и решении задач с величинами: во всех этих случаях длины нужно измерять, складывать или сопоставлять.

Что запомнить

• Чтобы измерить отрезок, выбирают единицу длины.
• Длину отрезка измеряют линейкой от нулевой отметки.
• Длина отрезка не зависит от выбранной единицы, но её численное значение зависит.
• При вычислениях длины сначала приводят к одинаковым единицам.
• Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.
• 10 мм = 1 см, 10 см = 1 дм, 10 дм = 1 м, 1000 м = 1 км.