"Математика (в 2 частях)", Гейдман Б.П., Мишарина И.Э., Зверева Е.А.
Длина отрезка показывает, сколько раз выбранная единица измерения укладывается в нём. Чтобы получить длину, сначала выбирают единичный отрезок, например сантиметр или миллиметр. Одну и ту же линию можно измерить разными единицами, поэтому числовые значения будут отличаться, хотя сам отрезок останется прежним. Измерение помогает сравнивать отрезки, выполнять геометрические построения и решать задачи, например находить периметр фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единичный отрезок — отрезок, выбранный за единицу измерения; его длину принимают равной 1. Например, если за единицу выбрали отрезок длиной 1 см, то все измерения можно выражать в сантиметрах. Выбор единицы нужен, чтобы одинаково понимать числовой результат измерения.
Измерение отрезка — сравнение его длины с выбранным единичным отрезком и установление, сколько раз единица укладывается в измеряемом отрезке. Можно мысленно откладывать единицу вдоль отрезка или пользоваться линейкой с делениями. Так мы получаем не просто впечатление о длине, а точный числовой результат.
Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков содержится в данном отрезке. Если единицей служит сантиметр, длину записывают, например, как 6 см. Единица рядом с числом помогает понять, какой именно мерой выражен отрезок.
Сначала для измерения выбирают единичный отрезок. Это необходимо, потому что одно и то же расстояние можно измерять, например, сантиметрами или миллиметрами, и числа при этом будут разными. Чтобы сравнение было справедливым, измеряемые длины должны быть выражены в общей единице.
Если единица укладывается в отрезке целое число раз, это число и будет его длиной в выбранных единицах. Но отрезок не всегда состоит из целого количества таких единиц: между целыми отметками может оставаться часть. Тогда единицу делят на равные более мелкие части, например сантиметр — на миллиметры, чтобы точнее описать длину.
Длину можно записать в разных единицах, например в сантиметрах или миллиметрах. Числовое значение меняется, потому что мелкая единица укладывается в отрезке чаще, чем крупная. Сам отрезок от способа записи не становится ни длиннее, ни короче: меняется только мера, которой его описывают.
Если точка лежит между концами отрезка и делит его на две части, эти части вместе составляют весь отрезок. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: если точка B находится между A и C, то AC = AB + BC. Это правило позволяет находить неизвестную длину, когда известны обе части.
Чтобы сравнить две длины, сначала выражают их в одной единице измерения. Иначе числа могут ввести в заблуждение: например, 80 см — это больше, чем 7 дм, хотя 80 на первый взгляд меньше 7 не выглядит очевидным сравнением. После перевода в сантиметры получаем 80 см и 70 см, и сравнение становится простым.
| Единица | Обозначение | Соотношение с соседней единицей |
|---|---|---|
| миллиметр | мм | 10 мм = 1 см |
| сантиметр | см | 1 см = 10 мм; 10 см = 1 дм |
| дециметр | дм | 1 дм = 10 см; 10 дм = 1 м |
| метр | м | 1 м = 10 дм |
При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается: например, сантиметры переводят в миллиметры умножением на 10. При переходе к более крупной единице значение уменьшается. Перед вычислениями проверь, что все величины записаны в подходящих одинаковых единицах.
Задача 1. Отрезок AB состоит из 6 одинаковых единичных отрезков. Найдите его длину в выбранных единицах. Здесь единичный отрезок уже задан, поэтому выяснять его длину в сантиметрах не требуется. Нужно определить, сколько раз эта единица содержится в AB.
Ответ: 6 выбранных единиц.
Задача 2. Длина отрезка равна 4 см 7 мм. Выразите её в миллиметрах. Чтобы сложить части, удобно перевести сантиметры в ту же единицу, в которой записаны миллиметры. По соотношению 1 см = 10 мм четыре сантиметра составляют 40 мм.
Ответ: 47 мм.
Задача 3. На отрезке AC отмечена точка B. Известно, что AB = 3 см 8 мм, а BC = 2 см 7 мм. Найдите длину AC. Точка B делит AC на две части, поэтому длину всего отрезка нужно найти сложением. Перед сложением приведём обе длины к миллиметрам.
Ответ: AC = 65 мм, или 6 см 5 мм.
Ошибка: сравнивать числа, записанные в разных единицах, например 8 см и 75 мм. Так делают, когда ориентируются только на вид чисел и забывают, что единицы различаются по размеру. Приведи обе длины к миллиметрам: 8 см = 80 мм, значит 8 см больше 75 мм.
Ошибка: записывать результат одним числом, не указывая единицу измерения. Причина обычно в том, что единицу считают очевидной, но без неё непонятно, получены сантиметры, метры или миллиметры. Проверь запись: после числа должно стоять обозначение единицы, например 12 см.
Ошибка: при измерении линейкой считать штрихи вместо промежутков между ними. Штрихи только отмечают границы делений, а длине соответствуют расстояния между соседними отметками. Проверь себя: между отметками 0 и 5 см пять промежутков, хотя штрихов может быть шесть.
Ошибка: вычитать длины частей, когда требуется найти весь отрезок. Так можно ошибиться, если перепутать задачу на нахождение целого с задачей на нахождение неизвестной части. Если точка находится между концами, сложи длины обеих частей и проверь, что их сумма соответствует длине всего отрезка.
Для измерения нужно уметь распознавать отрезок, находить и отмечать его концы, а также сравнивать предметы по длине. Эти навыки помогают понять, что именно измеряется и где проводить измерение. Линейка превращает такое сравнение в числовой результат.
Измерение отрезков используют при построениях с линейкой и циркулем: нужно откладывать заданные длины и переносить их на чертёж. Оно также помогает решать задачи о периметре, то есть сумме длин сторон фигуры. Поэтому точная запись единиц важна не только в упражнениях на измерение.
Что называют длиной отрезка?
Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков содержится в нём. Число записывают вместе с единицей измерения, например 5 см.
Зачем при измерении выбирать единичный отрезок?
Единичный отрезок задаёт меру, с которой сравнивают измеряемый отрезок. Без общей единицы числовые результаты измерений нельзя корректно сопоставить.
Почему у одного и того же отрезка могут быть разные числовые значения длины?
Числовое значение зависит от выбранной единицы измерения. Например, длина в сантиметрах выражается меньшим числом, чем та же длина в миллиметрах.
Как сравнить отрезки, если их длины записаны в разных единицах?
Сначала переведите обе длины в одну и ту же единицу. Затем сравните полученные числа: большей длине соответствует большее число.
Как найти длину отрезка, если известны длины его частей?
Сложите длины частей, предварительно выразив их в одинаковых единицах. Например, если отрезок разделён точкой на части длиной 3 см и 4 см, весь отрезок равен 7 см.
Урок 97. Измерение отрезков. Длина отрезка
