Урок 16-18. Больше, меньше, столько же

Определения и обозначения

«Больше» говорят о группе, в которой предметов больше, чем в другой. Это можно увидеть, если пересчитать предметы или соединить их попарно: предметы, которым не найдётся пары, останутся в более многочисленной группе. Такое сравнение помогает определить, какое количество превосходит другое, не полагаясь на впечатление от расположения предметов.

«Меньше» говорят о группе, в которой предметов меньше, чем в другой. Если в одной группе при попарном сопоставлении остаются предметы без пары, то именно в другой группе предметов меньше. Понятия «больше» и «меньше» описывают одно и то же сравнение с разных сторон: если в первой группе больше, то во второй меньше.

«Столько же» означает, что в двух группах одинаковое количество предметов. При сопоставлении каждому предмету одной группы соответствует один предмет другой группы, и лишних не остаётся. Это понятие нужно, чтобы установить равенство количеств, даже если сами предметы не похожи.

Знаки >, < и = — обозначения отношений между числами: «больше», «меньше» и «столько же». Например, запись 3 < 5 означает, что три меньше пяти, а 4 = 4 — что числа равны. Знаки позволяют коротко записывать результат сравнения, поэтому при чтении нужно учитывать числа по обе стороны знака.

Как это устроено

Чтобы сравнить две группы предметов, можно соединить их элементы попарно: каждому предмету из первой группы подбирают один предмет из второй. Такой способ удобен, потому что сравнение становится наглядным и не требует угадывать по виду групп. Если предметы можно пересчитать, результат можно проверить счётом, но пары помогают сразу заметить разницу.

Если после попарного соединения предметы остались только в одной группе, в ней предметов больше, а в другой — меньше. Причина проста: все предметы меньшей группы уже получили пары, а оставшиеся предметы большей группы соответствовать им не могут. Например, если без пары остались яблоки, то яблок больше, чем предметов во второй группе.

Если каждому предмету одной группы нашлась пара в другой и лишних предметов нет, в группах столько же предметов. Каждая пара состоит из одного предмета каждой группы, поэтому число пар одновременно показывает количество предметов в обеих группах. Отсутствие лишних предметов означает, что ни одна группа не превосходит другую по количеству.

Сравнивать количества можно, даже если предметы отличаются цветом, размером или видом: важно число предметов. Например, можно сопоставить карандаши с ластиками, потому что пара в этом способе означает соответствие одного предмета одному, а не сходство предметов. Если отвлечься от внешнего вида и аккуратно пересчитать или соединить их попарно, сравнение будет правильным.

Результат сравнения количеств записывают с помощью знаков >, < и =, обращая внимание на порядок чисел. Сначала называют число слева, а затем сравнивают его с числом справа: знак показывает отношение именно в таком порядке. Поэтому 3 < 5 верно, а при перестановке чисел отношение записывается как 5 > 3; знак и числа должны согласовываться.

Как сравнить и записать количество предметов

Сначала найди, есть ли в группах предметы без пары, и определи, в какой именно группе они остались. Затем поставь числа в том же порядке, в каком сравниваешь группы, и выбери подходящий знак. Буквы a и b в таблице обозначают любые числа.

Разбор задач

Задача 1. На одной тарелке 3 яблока, на другой — 5. На какой тарелке яблок больше и как записать сравнение чисел? Сравним количества, а не размер тарелок и не то, как разложены яблоки. Для проверки можно представить, что каждому яблоку с первой тарелки подбирается яблоко со второй.

1. На первой тарелке 3 яблока, на второй — 5, поэтому сопоставим три яблока попарно с тремя яблоками. Каждое яблоко с первой тарелки получит пару, а на второй останутся ещё два яблока. Значит, на второй тарелке яблок больше.
2. Записываем числа в порядке условия: сначала количество на первой тарелке, затем на второй. Три меньше пяти, поэтому между числами ставим знак <. Получаем 3 < 5.

Ответ: яблок больше на второй тарелке; 3 < 5.

Задача 2. У Маши 4 карандаша, у Пети 4 карандаша. Сколько карандашей у каждого и каким знаком можно обозначить сравнение? Оба количества указаны в условии, поэтому пересчитывать предметы заново не требуется. Проверим, равны ли числа и какой знак выражает равенство.

1. У Маши 4 карандаша, и у Пети тоже 4. Если сопоставить карандаши попарно, каждому карандашу Маши найдётся один карандаш Пети, и лишних не будет. Следовательно, у ребят одинаковое количество.
2. Записываем количество Маши первым, а количество Пети — вторым. Числа совпадают, поэтому между ними ставим знак равенства. Получается 4 = 4.

Ответ: у каждого по 4 карандаша; сравнение записывается так: 4 = 4.

Задача 3. Разложи 6 пуговиц и 4 кружка так, чтобы каждому кружку соответствовала одна пуговица. Сколько пуговиц останется без пары и где предметов больше? Здесь сравниваются разные предметы, но это не мешает сопоставлению: одна пара состоит из одной пуговицы и одного кружка. После составления всех возможных пар станет видно, остались ли лишние предметы.

1. Каждому из четырёх кружков подбираем по одной пуговице. На это уйдут четыре пуговицы, потому что кружков всего четыре. Все кружки окажутся в парах.
2. Из шести пуговиц четыре получили пару, значит, две пуговицы остались без пары. Лишние предметы находятся в группе пуговиц, поэтому пуговиц больше, чем кружков. Для чисел результат можно записать как 6 > 4.

Ответ: без пары останутся 2 пуговицы; пуговиц больше.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать предметы по размеру или цвету, а не по количеству. Большой предмет может выглядеть важнее или заметнее, но это не значит, что предметов в его группе больше; так ошибаются, когда судят только по первому впечатлению. Пересчитай предметы или сопоставь их попарно: тогда сравнение будет опираться на количество.

Иногда решают, что предметов поровну, потому что группы расположены одинаково. Ровные ряды или похожие промежутки между предметами сами по себе ничего не говорят о числе предметов. Проверь, можно ли поставить каждому предмету пары в другой группе и не останется ли лишних.

Можно перепутать, в какой группе предметов больше, если после сопоставления остались лишние предметы. Обычно это происходит, когда замечают остаток, но не проверяют, к какой группе он относится. Перед ответом назови группу, где остались предметы без пары: именно в ней предметов больше.

Ещё одна ошибка — неверно направлять знаки > и <. Знак выбирают, не учитывая порядок чисел или представляя его наоборот, из-за чего запись противоречит сравнению. Прочитай запись слева направо вслух: например, 3 < 5 — «три меньше пяти», а 5 > 3 — «пять больше трёх».

Связь с другими темами

Для сравнения количеств нужно уметь пересчитывать предметы и соотносить количество с числом. Если пересчёт пока затруднителен, попарное сопоставление помогает увидеть, где предметов больше или меньше. Затем сравнение пригодится при упорядочивании чисел и сравнении результатов вычислений: так можно определить, какой результат больше.

Знаки >, < и = используются для записи неравенств и равенств. Запись с этими знаками помогает выражать отношения между числами коротко и точно. Поэтому умение сравнить количества становится основой для работы с числами и математическими записями.

Что запомнить

• Количество предметов можно сравнить попарным сопоставлением.
• Лишние предметы показывают, в какой группе их больше.
• Если лишних предметов нет, в группах столько же предметов.
• Знак > читают «больше», знак < — «меньше».
• Знак = означает, что количества равны.
• При сравнении важны количества, а не внешний вид предметов.