Урок 23. Прямая. Отрезок

Определения и обозначения

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. На чертеже её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например AB. Эти обозначения помогают назвать нужную линию и отличить её от других объектов на чертеже.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Его обозначают двумя заглавными буквами, соответствующими концам, например отрезок AB. Такое название указывает, какой именно ограниченный участок рассматривается, и позволяет обсуждать его длину.

Концы отрезка — две точки, которые ограничивают его с обеих сторон. Если отрезок обозначен AB, его концы — точки A и B. Обе точки принадлежат отрезку: граница не исключает их из объекта, поэтому при проверке принадлежности концов их учитывают.

Чтобы показать, что точка A лежит на прямой a, записывают A ∈ a; символ ∈ читают «принадлежит». Если точка Q на прямой не лежит, пишут Q ∉ a, то есть «не принадлежит». Такая запись кратко передаёт положение точки и помогает не смешивать принадлежность прямой с принадлежностью отрезку на ней.

Как это устроено

Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Причина в том, что две точки задают одно определённое направление линии: если провести через них другую прямую, она должна пройти через те же точки и совпадёт с первой. Поэтому две точки на чертеже позволяют не только построить прямую, но и обозначить её их заглавными буквами, например AB. Строчная буква, например a, служит другим коротким обозначением той же прямой.

На листе невозможно нарисовать линию без конца, поэтому изображение прямой всегда ограничено краями рисунка. Эти края относятся к чертежу, а не к самой прямой: за пределами нарисованного фрагмента она мысленно продолжается. Для ясности концы изображения часто показывают стрелками, которые напоминают о продолжении. Не следует принимать край листа или рисунка за конец геометрического объекта.

Чтобы получить отрезок, выбирают на прямой две точки и рассматривают участок между ними вместе с самими точками. Выбранные точки становятся концами и ограничивают отрезок, поэтому участок за ними в него не входит. Та же прямая продолжается дальше, но отрезок остаётся только между своими границами. Именно поэтому точка на продолжении прямой не обязательно принадлежит отрезку.

Главное различие прямой и отрезка связано с границами. У прямой нет концов, и она продолжается в обе стороны; у отрезка есть два конца, и дальше них он не продолжается. Поскольку отрезок ограничен, его длину можно измерить линейкой, а длину всей прямой измерить нельзя. Эти свойства помогают понять, какой объект изображён и какие вопросы о нём можно задавать.

Читая чертёж, сначала найди обозначение линии и отмеченные на ней точки. Затем выясни, изображена ли вся прямая с мысленным продолжением или только участок между двумя концами. Если на прямой отмечены точки P и R, а между ними выделен отрезок, то PR называют отрезком с концами P и R. Точка Q может лежать на той же прямой, но за концами участка, поэтому принадлежность прямой сама по себе ещё не означает принадлежность отрезку.

Сравнение прямой и отрезка

Сначала сравни, есть ли у объекта два отмеченных конца: это помогает отличить отрезок от прямой. Затем проверь обозначение и возможность измерить длину. Таблица также напоминает, что прямая может проходить через концы отрезка, но не ограничивается ими.

Разбор задач

Задача 1

Условие: отметить точки A и B и провести прямую, проходящую через них. Нужно обозначить её двумя способами. Предполагается, что точки A и B различны, поэтому для них существует ровно одна такая прямая.

1. Отметим на чертеже две различные точки A и B.
2. Проведём через обе точки одну линию и мысленно продолжим её в обе стороны: это прямая.
3. Назовём её строчной латинской буквой a; второй способ — прямой AB по точкам, лежащим на ней.

Ответ: прямая a, или прямая AB. Два обозначения относятся к одному объекту, потому что линия проходит через обе указанные точки. Не нужно называть её отрезком AB: отрезок ограничен точками, а построенная прямая продолжается дальше.

Задача 2

Условие: на прямой a отмечены точки C и D. Требуется назвать отрезок, концами которого они являются, и указать, какие из этих точек ему принадлежат. По условию именно C и D выбраны как границы участка.

1. Находим концы будущего отрезка: это точки C и D.
2. Обозначаем участок буквами концов — отрезок CD.
3. Проверяем границы: обе точки, которыми ограничен отрезок, входят в него.

Ответ: отрезок CD; ему принадлежат точки C и D. Если на рисунке есть другие отмеченные точки, нужно отдельно проверить, расположены ли они между C и D или совпадают с концами. Одного факта, что точка лежит на прямой a, недостаточно, чтобы считать её принадлежащей отрезку CD.

Задача 3

Условие: дана прямая m и точки P, Q, R; P и R лежат на прямой, а Q находится вне неё. Нужно записать отношения принадлежности и назвать отрезок PR. Здесь важно сначала прочитать положение точек, а затем различить прямую и участок между двумя точками.

1. Для точки P записываем P ∈ m, так как она лежит на прямой.
2. Для точки R записываем R ∈ m, а для точки Q — Q ∉ m.
3. Отрезок с концами P и R обозначаем PR; точка Q не может принадлежать ему, поскольку не лежит даже на прямой m.

Ответ: P ∈ m, R ∈ m, Q ∉ m; отрезок — PR. Записи о принадлежности прямой не заменяют названия отрезка: прямая m — вся линия, а PR — ограниченный её участок. В этой задаче Q не принадлежит ни прямой, ни отрезку PR.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается у края рисунка. Так думают, потому что на бумаге можно показать только конечный фрагмент линии. Проверь себя: если это прямая, мысленно продли её за изображение в обе стороны; концы рисунка не являются её концами.

Ошибка: путать прямую и отрезок, считая их одинаковыми линиями. На чертеже оба объекта могут выглядеть как участок линии, поэтому легко не заметить смысл границ. Спроси себя, есть ли у объекта два конца и продолжается ли он за них: у отрезка концы есть, у прямой — нет.

Ошибка: обозначать отрезок одной буквой или забывать о буквах концов. Это происходит, когда обозначение прямой строчной буквой переносят на отрезок. Проверь запись: название отрезка должно содержать две заглавные буквы, соответствующие его концам, например AB.

Ошибка: считать, что любая точка прямой принадлежит отрезку, выбранному на ней. Путают всю линию и ограниченный участок между концами. Проверь положение точки относительно обеих границ: если она лежит за концом, то может принадлежать прямой, но не этому отрезку.

Связь с другими темами

Для работы с прямыми и отрезками нужно уметь отмечать точки и читать буквенные обозначения геометрических объектов. Эти навыки помогают понимать чертежи и точно записывать, какие точки связаны с выбранной линией. Позже понятие отрезка понадобится, когда будут изучать его длину и сравнение отрезков. Отрезки также используют при построении геометрических фигур, поскольку ими задают стороны и расстояния между вершинами.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
• Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами.
• Отрезок обозначают буквами его концов.
• Точка на прямой не обязательно принадлежит выбранному на ней отрезку.