Урок 76-77. Переместительный закон сложения

Определения и обозначения

Сложение — действие, которое объединяет количества. Если к двум красным кубикам добавить три синих, получится пять кубиков; числовая запись этого действия — 2 + 3 = 5. Так сложение помогает узнать общее количество предметов в нескольких группах. Числа в примере обозначают, сколько предметов было в каждой группе.

Слагаемое — число, которое складывают с другим числом. В записи a + b оба числа, a и b, являются слагаемыми, а результат сложения называют суммой. Например, в выражении 6 + 4 слагаемые — 6 и 4. Это название помогает точно говорить о числах, которые можно переставить по правилу сложения.

Переместительный закон сложения — свойство, согласно которому от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Например, 3 + 8 и 8 + 3 имеют одинаковое значение. Закон нужен, чтобы менять порядок чисел при вычислениях, не опасаясь изменить результат. Буквы в записи обозначают любые слагаемые.

Как это устроено

Представим две группы предметов: в одной лежат четыре карандаша, в другой — два. Чтобы узнать, сколько карандашей всего, можно сначала пересчитать первую группу, а затем вторую: получится шесть. Если начать со второй группы и потом пересчитать первую, предметов всё равно будет шесть, потому что сами группы не изменились. Меняется только то, с какой группы начинают счёт.

То же видно на числовом примере: 8 + 5 = 13, и 5 + 8 = 13. В первом случае к восьми предметам добавляют пять, во втором — к пяти добавляют восемь, но речь идёт о тех же тринадцати предметах. Перестановка не убирает и не добавляет предметы, поэтому итоговое количество остаётся прежним. Числа показывают это свойство уже без рисунка.

Запись a + b = b + a кратко выражает найденную закономерность. Буквы здесь не обозначают только какие-то особые числа: вместо a и b можно подставить любые слагаемые. Например, если a = 9, а b = 2, получится 9 + 2 = 2 + 9. Равенство говорит не об одном отдельном примере, а о правиле, которое верно для всех таких случаев.

Закон полезен, когда один порядок сложения удобнее другого. Например, 27 + 13 можно записать как 13 + 27: при сложении 27 и 13 удобно получить 40, складывая сначала единицы, а затем десятки. В выражении 36 + 18 + 64 можно поставить рядом 36 и 64, потому что их сумма равна 100. Так вычисление становится проще, хотя значение всего выражения не меняется.

Переместительный закон разрешает менять местами слагаемые, но не превращает сложение в другое действие. Между числами по-прежнему стоит знак «+», а каждое слагаемое остаётся в записи. Например, из 6 + 2 можно получить 2 + 6, но нельзя на основании этого закона записать 6 − 2. Правило говорит о порядке чисел именно при сложении.

Переместительный закон сложения

Сначала определите, какие числа являются слагаемыми, затем проверьте, не потерялось ли какое-либо из них при перестановке. Если цель — упростить вычисление, выберите порядок, в котором легче складывать числа. Результат исходного и изменённого выражений должен совпасть.

Разбор задач

В каждом примере используем один и тот же принцип: при перестановке слагаемых сумма сохраняется. Сначала выполним действие в исходном порядке, затем сравним или выберем более удобную запись. Так мы не просто получим ответ, но и увидим, зачем применять закон.

Задача 1

Вычислите 8 + 5, затем 5 + 8. Сравните результаты. Здесь удобно сначала посчитать оба выражения отдельно, чтобы проверить закон на конкретных числах. После этого можно объяснить совпадение тем, что поменялся только порядок слагаемых.

1. Складываем числа в первом выражении: 8 + 5 = 13.
2. Меняем слагаемые местами и вычисляем: 5 + 8 = 13.
3. Сравниваем результаты: они равны, потому что оба выражения содержат те же слагаемые.

Ответ: 8 + 5 = 5 + 8 = 13.

Задача 2

Вычислите удобным способом: 27 + 13. При сложении можно сначала представить числа по разрядам: 27 — это 20 и 7, а 13 — это 10 и 3. Сумма единиц даёт 10, поэтому вместе с десятками получается круглое число. Перестановка помогает заметить это удобное сложение.

1. Переставляем слагаемые по переместительному закону: 27 + 13 = 13 + 27.
2. Складываем единицы: 3 + 7 = 10, а десятки: 10 + 20 = 30.
3. Объединяем полученные части: 30 + 10 = 40.

Ответ: 27 + 13 = 40.

Задача 3

Вычислите удобным способом: 36 + 18 + 64. Среди слагаемых есть 36 и 64: их легко сложить, потому что единицы дают 10, а десятки — 90. Поэтому выгодно переставить числа так, чтобы эта пара оказалась рядом. Число 18 при этом остаётся в выражении.

1. Переставляем слагаемые: 36 + 18 + 64 = 36 + 64 + 18.
2. Сначала складываем удобную пару: 36 + 64 = 100.
3. Прибавляем оставшееся слагаемое: 100 + 18 = 118.

Ответ: 36 + 18 + 64 = 118.

Типичные ошибки

Ошибка: при перестановке чисел знак сложения заменяют на вычитание. Так делают, если путают изменение порядка слагаемых с изменением самого действия. Переместительный закон сохраняет знак «+», поэтому 8 + 5 можно заменить на 5 + 8, но не на 8 − 5. Проверьте, что в новой записи по-прежнему выполняется сложение.

Ошибка: считают, что после перестановки изменилось значение суммы. Иногда кажется, что число, стоящее первым, должно влиять на результат сильнее, чем второе. Но оба числа обозначают части одного общего количества. Для проверки вычислите обе записи, например 6 + 9 и 9 + 6: в каждой получится 15.

Ошибка: при перестановке теряют слагаемое или случайно добавляют лишнее. Это часто происходит в длинной записи, когда внимание сосредоточено только на удобной паре чисел. Пересчитайте слагаемые в исходном и новом выражениях и сравните их наборы. Если какого-то числа нет или оно повторяется лишний раз, запись неверна.

Ошибка: переместительный закон путают с правилом о скобках. Переставить слагаемые — значит изменить порядок чисел, например 2 + 7 на 7 + 2; действия со скобками относятся к тому, как устроено выражение и в каком порядке выполняются действия. Причина путаницы — оба приёма могут помогать вычислять удобнее. Проверяйте, какое именно изменение сделано: закон перестановки обосновывает только смену мест слагаемых.

Связь с другими темами

Перед изучением переместительного закона нужно понимать смысл сложения, различать слагаемые и уметь находить сумму. Тогда можно проследить, что именно меняется в записи, а что остаётся прежним. Это свойство используется дальше при устных и письменных вычислениях. Оно помогает подбирать порядок сложения, чтобы быстрее выполнять действия и меньше ошибаться.

Что запомнить

• Слагаемые можно менять местами.
• От перестановки слагаемых сумма не меняется.
• Переместительный закон записывают так: a + b = b + a.
• Буквенное равенство верно для любых слагаемых.
• Закон помогает выбирать удобный порядок вычислений.
• При перестановке нужно сохранить все слагаемые.