Урок 78-80. Уменьшаемое. Вычитаемое. Разность

Определения и обозначения

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; в записи a − b это число a. Оно стоит перед знаком минус и задаёт исходное количество, которое нужно уменьшить. Например, в выражении 15 − 7 уменьшаемое равно 15. Это название помогает сразу понять, с какого числа начинается действие.

Вычитаемое — число, которое вычитают; в записи a − b это число b. Оно стоит после знака минус и показывает, сколько нужно убрать или на сколько уменьшить исходное количество. В записи 15 − 7 вычитаемое равно 7. Зная его роль, легче не перепутать числа при вычислении и проверке.

Разность — результат вычитания; в записи a − b это число, равное a − b. В равенстве a − b = c разностью является c, то есть число после знака равенства. Например, в записи 15 − 7 = 8 разность равна 8. Это название используют и для результата, и для выражения, в котором выполняется вычитание.

Как это устроено

В записи a − b = c каждое число занимает своё место: a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность. Знак минус показывает, что от первого числа нужно отнять второе, а знак равенства связывает действие с его результатом. Например, в 15 − 7 = 8 из 15 вычитают 7 и получают 8. Если сначала определить места чисел, проще правильно назвать каждое из них.

Вычитание можно понимать как поиск неизвестного слагаемого. Нужно узнать, какое число прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое: в равенстве a − b = c число c удовлетворяет условию b + c = a. Например, после того как от 15 убрали 7, осталось 8, потому что 7 + 8 = 15. Поэтому вычитание связано со сложением и помогает найти недостающее слагаемое.

Связь со сложением даёт способ проверить вычисление. Если a − b = c, то верный результат должен удовлетворять равенству c + b = a: к разности прибавляют именно вычитаемое и получают уменьшаемое. Например, для 15 − 7 = 8 проверка выглядит так: 8 + 7 = 15. Если сумма не совпала с уменьшаемым, значит, в вычислении или записи допущена ошибка.

При вычитании порядок чисел важен, потому что уменьшаемое показывает исходное количество, а вычитаемое — сколько из него убирают. Если поменять их местами, меняется вопрос и обычно меняется результат: 15 − 7 = 8, а 7 − 15 нельзя выполнить в натуральных числах. Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы; среди них нет числа, которое было бы результатом такого вычитания. Поэтому вычитание, в отличие от сложения, не обладает свойством перестановки чисел.

Некоторые случаи вычитания удобно запомнить отдельно. Если вычитаемое равно нулю, исходное число не уменьшается: 15 − 0 = 15, ведь убирать нечего. Если вычесть из числа его самого, ничего не останется: 15 − 15 = 0. Эти правила следуют из смысла действия и подходят для любого натурального числа.

Названия чисел при вычитании

Чтобы воспользоваться таблицей, найди в записи знак минус: число перед ним — уменьшаемое, а число после него — вычитаемое. Затем вычисли действие, и полученное число будет разностью. В равенстве с готовым ответом названия можно проверить по примеру в последнем столбце.

Разбор задач

В каждой задаче сначала выделяй действие и его числа, а затем выполняй вычисления. После этого полезно назвать компоненты и проверить ответ, если условие позволяет. Такой порядок помогает увидеть не только результат, но и смысл вычисления.

Задача. Вычисли 14 − 6 и назови уменьшаемое, вычитаемое и разность.

1. Запишем вычитание: 14 − 6.
2. Вычтем 6 из 14: 14 − 6 = 8.
3. Первое число, 14, — уменьшаемое; число 6 после знака минус — вычитаемое; результат 8 — разность.

Ответ: разность равна 8; уменьшаемое — 14, вычитаемое — 6. Названия определили по месту чисел в записи, а результат получили вычислением.

Задача. Найди значение выражения 53 − 28 и проверь результат сложением.

1. Вычтем единицы: из 3 нельзя вычесть 8, поэтому один десяток из 5 десятков заменим на 10 единиц. Получим 13 единиц и 4 десятка.
2. Вычтем по разрядам: 13 − 8 = 5 единиц, 4 десятка − 2 десятка = 2 десятка. Значит, 53 − 28 = 25.
3. Для проверки прибавим вычитаемое к разности: 25 + 28 = 53. Получили уменьшаемое, следовательно, вычисление верное.

Ответ: 25. При проверке сложением разность 25 и вычитаемое 28 дали уменьшаемое 53.

Задача. Разность равна 24, вычитаемое — 19. Найди уменьшаемое и объясни проверку.

1. Обозначим неизвестное уменьшаемое буквой a. Тогда запись вычитания имеет вид a − 19 = 24.
2. Чтобы найти уменьшаемое, прибавим к разности вычитаемое: 24 + 19 = 43. Значит, a = 43.
3. Проверим: 43 − 19 = 24. Также можно проверить сложением: 24 + 19 = 43, то есть разность и вычитаемое дают найденное уменьшаемое.

Ответ: уменьшаемое равно 43. Проверка подтверждает ответ, потому что сложение разности 24 и вычитаемого 19 возвращает число 43.

Типичные ошибки

Первая ошибка — назвать первое число разностью, а результат вычитания вычитаемым. Так бывает, если ориентироваться только на то, что числа стоят рядом, а не помнить их роли. Проверь себя по записи: до знака минус стоит уменьшаемое, после него — вычитаемое, а итог действия — разность.

Вторая ошибка — поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, считая, что результат не изменится, как при сложении. При вычитании числа отвечают на разные вопросы: что уменьшают и сколько отнимают. Для проверки вычисли оба выражения, если они имеют смысл; например, 9 − 4 = 5, но 4 − 9 не даёт натурального числа.

Третья ошибка — проверять вычитание сложением не тех чисел. К уменьшаемому нельзя прибавлять вычитаемое, чтобы проверить готовую разность: нужная проверка имеет вид «разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому». Запиши её рядом с примером и сверь полученную сумму с первым числом исходного вычитания.

Четвёртая ошибка — думать, что из любого меньшего натурального числа можно вычесть большее и получить натуральный результат. В натуральных числах такой результат не всегда существует: например, 4 − 9 не является натуральным числом. Перед вычислением сравни числа; если уменьшаемое меньше вычитаемого, не записывай натуральный ответ без изучения других видов чисел.

Связь с другими темами

Для вычитания нужны навыки счёта и сравнения чисел: сравнение помогает понять, какое число больше и возможен ли натуральный результат. Полезно знать состав числа, чтобы выполнять вычитание по разрядам, а также связь сложения с вычитанием. Именно она объясняет проверку: если a − b = c, то c + b = a.

Названия компонентов и проверка сложением пригодятся при решении уравнений. Например, если неизвестно уменьшаемое, его можно найти сложением разности и вычитаемого. В текстовой задаче эти знания помогают определить, какое действие соответствует условию и как проверить ответ.

Что запомнить

• В записи a − b уменьшаемое стоит первым.
• Вычитаемое — число, которое вычитают.
• Разность — результат вычитания.
• Вычитание можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равны уменьшаемому.
• При перестановке уменьшаемого и вычитаемого разность меняется.
• Из числа можно вычесть ноль — оно не изменится.
• Разность числа и самого себя равна нулю.