"Математика (в 2 частях)", Гейдман Б.П., Мишарина И.Э., Зверева Е.А.
Сравнение выражений помогает определить, какое из двух записей задаёт большее значение или равное ему. Для этого можно вычислить оба выражения, а можно, если вычисления сложные, найти общий множитель или сопоставить части записей. Важно сравнивать именно полученные значения, соблюдать порядок действий и учитывать знаки чисел. Эти приёмы нужны не только для вычислений: они помогают проверять ответы, преобразовывать выражения и решать неравенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и скобок. Чтобы понять, что она означает, выполняют действия в определённом порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Это правило позволяет всем получить один и тот же результат.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 2 · 3 равно 14, потому что сначала выполняют умножение. Именно значения, а не длину записи или отдельные числа в ней, сравнивают между собой. Поэтому перед сравнением важно правильно вычислить каждое выражение.
Сравнение выражений — установление того, какое из двух выражений имеет большее значение или равное ему. Сначала можно найти значения, а затем определить, какое число больше. Если вычислять неудобно, результат иногда удаётся обосновать, сопоставив части выражений. Такое сравнение помогает выбрать верный знак и проверить рассуждение.
Неравенство — запись, показывающая, что одно значение меньше или больше другого: для этого используют знаки < или >. Например, 5 < 8 означает, что пять меньше восьми. Если значения равны, ставят знак =. Эти обозначения кратко записывают итог сравнения.
Самый прямой способ — вычислить оба выражения, соблюдая порядок действий, а затем сравнить полученные числа. Такой способ надёжен, потому что вместо сложных записей мы сопоставляем уже знакомые числа. Например, если результаты равны 17 и 20, сразу ясно, что первое выражение меньше второго. Перед вычислением полезно проверить скобки и очередность действий, иначе можно получить неверное значение и сделать неправильный вывод.
Иногда по отдельности вычислять выражения долго, хотя они похожи. Тогда стоит преобразовать запись или сравнить общие части: одинаковые слагаемые можно учесть с обеих сторон, а общий множитель — вынести за скобки. Причина в том, что равные части дают одинаковый вклад в значения, поэтому внимание можно сосредоточить на различии. При этом каждое преобразование должно сохранять исходное значение, иначе сравнение уже будет относиться к другим выражениям.
Для сумм и разностей полезно следить, как изменение числа меняет результат. Если к двум равным числам прибавить разные слагаемые, большая сумма получится при большем слагаемом. Если из одного и того же числа вычесть большее число, разность станет меньше. Такие рассуждения позволяют сравнивать выражения без длинных вычислений, но нужно точно определить, какая часть меняется и с каким знаком она участвует.
При произведениях и частных необходимо учитывать знак чисел. Умножение на положительный множитель сохраняет порядок сравнения, а при умножении на отрицательный порядок меняется; например, из 3 < 5 следует −3 > −5. Деление ведёт себя похожим образом, если делитель не равен нулю: знак положительного делителя сохраняет порядок, отрицательного — меняет. Поэтому прежде чем сравнивать произведения или частные, проверь знаки и убедись, что деление допустимо.
Внешнее сходство записей само по себе ничего не доказывает. Два выражения могут содержать одинаковые числа, но разные действия или порядок действий, а значит, иметь разные значения. Вывод должен опираться на точное вычисление либо правило, которое объясняет, почему одно значение больше, меньше или равно другому. Если доказательство сводится к «выглядит больше», сравнение не обосновано.
Выбери способ, который требует меньше вычислений, но позволяет уверенно обосновать результат. После преобразования проверь, что оно не изменило значение выражения, а при умножении и делении отдельно проследи за знаками чисел.
| Ситуация | Основной приём | Что проверить |
|---|---|---|
| Оба выражения удобно вычислить | Вычислить значения и сравнить полученные числа | Порядок действий и точность вычислений |
| Вычислять выражения по отдельности неудобно | Преобразовать выражения или сравнить их общие части | Преобразования сохраняют значение выражений |
| Сравниваются произведения или частные | Учесть знак множителей или делителей и их величины | Знаки чисел и допустимость деления |
Сравнить 48 : 6 + 5 и 3 · 4. Здесь удобно вычислить оба значения: выражения короткие, и их результаты легко сопоставить. Сначала выполняем деление и умножение, а затем сравниваем полученные числа.
Ответ: 48 : 6 + 5 > 3 · 4. Сравнивать первые числа 48 и 3 было бы неверно: результат определяется действиями во всём выражении.
Сравнить 27 · 8 и 27 · 9, не выполняя умножение. Оба выражения содержат один и тот же множитель 27, который положителен. Значит, умножение чисел 8 и 9 на этот множитель сохраняет их порядок.
Ответ: 27 · 8 < 27 · 9. Умножать оба произведения не пришлось: достаточно было сравнить вторые множители и проверить знак общего множителя.
Сравнить 125 · 16 и 125 · 15 + 125. Здесь полезно не вычислять большие произведения, а заметить общий множитель 125. Представим 16 как 15 + 1 и применим распределительное свойство умножения относительно сложения.
Ответ: 125 · 16 = 125 · 15 + 125. Равенство следует из распределительного свойства, а не из внешнего сходства записей.
Ошибка — сравнивать отдельные числа или знаки, не учитывая все действия. Её допускают, потому что первое число или общий фрагмент сразу бросается в глаза, но остальные части тоже влияют на значение. Проверь себя: вычисли выражения или найди правило, которое учитывает все их части.
Если нарушить порядок действий, получатся значения других выражений. Например, в записи 8 + 2 · 3 нельзя сначала складывать: умножение выполняют раньше сложения. Такая ошибка часто возникает, когда читают выражение слева направо, не проверяя приоритет действий. Чтобы проверить вычисление, отметь порядок действий и пересчитай каждое значение.
Неверно считать, что умножение всегда увеличивает число. Это верно не для всех случаев: умножение положительного числа на множитель между 0 и 1 уменьшает его, а отрицательные множители меняют знак результата. Ошибку провоцирует привычка к умножению натуральных чисел. Перед выводом проверь, положителен ли множитель и больше ли он единицы.
Нельзя определять порядок произведений или частных, не проверив знаки множителей и делителей. При отрицательном множителе порядок сравнения может измениться, а деление на ноль вообще не определено. Эту проверку часто пропускают, применяя привычное правило для положительных чисел. Запиши знаки всех чисел и отдельно убедись, что делитель не равен нулю.
Чтобы сравнивать выражения, нужно знать порядок выполнения действий, уметь раскрывать скобки и вычислять числовые выражения. Также пригодятся навыки сравнения натуральных, целых и дробных чисел: особенно важно понимать, как знак числа влияет на результат умножения и деления. Эти знания помогают оценивать результаты вычислений и проверять, разумен ли ответ. Сравнение выражений используют при преобразованиях, а также при решении уравнений и неравенств.
Нужно ли всегда полностью вычислять оба выражения?
Нет. Если значения легко найти, вычисли оба выражения и сравни полученные числа. Если вычисления громоздкие, попробуй сравнить общие части или преобразовать запись.
Как сравнить выражения, если вычисления получаются громоздкими?
Найди одинаковые части выражений и выясни, чем отличаются оставшиеся. Иногда достаточно вынести общий множитель или заменить выражение равной ему суммой.
Почему нельзя сравнивать выражения только по первым числам?
Значение зависит от всех чисел, знаков действий и порядка выполнения действий. Например, одинаковое первое число может умножаться на разные множители, поэтому результаты будут различаться.
Всегда ли умножение увеличивает значение числа?
Нет. Умножение на положительное число больше 1 увеличивает положительное число, а на число между 0 и 1 — уменьшает. При отрицательных числах нужно также учитывать знак результата.
Как проверить, что при преобразовании выражения его значение не изменилось?
Проверь, применено ли верное правило, например раскрытие скобок или распределительное свойство умножения. Для проверки можно подставить простые числа вместо букв, если они есть, или вычислить исходную и преобразованную записи.
Урок 91-93. Сравнение выражений
