"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать предметы, описывать величины и выполнять вычисления. Натуральные числа служат для счёта, целые расширяют их отрицательными числами и нулём, а рациональные позволяют записывать части целого и результаты деления. С числами выполняют сложение, вычитание, умножение и деление. Чтобы вычисления были верными, нужно понимать смысл действий, уметь переходить между дробными записями и соблюдать порядок действий в выражениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. С их помощью можно узнать, сколько предметов в группе или каким по счёту является предмет. Вопрос о том, относится ли ноль к натуральным числам, решается по принятому соглашению. Поэтому при работе нужно уточнять, какое определение используют.
Целое число — натуральное число, противоположное ему число или ноль. Противоположные числа отличаются только знаком: например, 5 и −5; ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Знак «+» показывает положительное число, а знак «−» — отрицательное: +3 и −3. Целые числа нужны, когда величина может быть меньше нуля, например при описании температуры или положения ниже выбранного уровня.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3/4 — обыкновенная дробь, а 0,75 — конечная десятичная запись того же числа. Такая форма позволяет записывать части целого и результаты деления. Условие n ≠ 0 обязательно: дробь с нулём в знаменателе не определена.
Арифметическое действие — способ получить новое число из одного или нескольких чисел. К основным действиям относятся сложение, вычитание, умножение и деление. Например, 7 + 2 даёт сумму, а 7 − 2 — разность. Знание названий и смысла действий помогает выбирать верный способ решения задачи.
Сначала человеку нужно было отвечать на вопрос «сколько?», поэтому появились числа для счёта: один предмет, два предмета, три предмета. Так образуется ряд натуральных чисел, которым можно пересчитать любое конечное количество предметов. Но при подсчёте пустой корзины количество равно нулю, а обычный счёт не описывает величины ниже нуля. Для этого используют ноль и отрицательные числа: например, ими удобно обозначать температуру ниже нуля или движение в противоположных направлениях.
Натуральных и целых чисел недостаточно, если нужно описать часть предмета или результат деления без остатка. Половина яблока — это 1/2 яблока, а при делении трёх одинаковых пирогов между четырьмя людьми каждому достанется 3/4 пирога. Поэтому вводят дробные числа, а рациональными называют все числа, которые можно записать дробью с целым числителем и ненулевым целым знаменателем. Так можно представить и целые числа: например, 5 = 5/1.
Одно рациональное число иногда записывают по-разному: обыкновенной дробью или десятичной дробью. Чтобы перейти от 3/4 к десятичной записи, выполняют деление: 3 : 4 = 0,75. Обратный переход для 0,6 основан на разрядном составе: шесть десятых — это 6/10, а после сокращения получается 3/5. Такие переходы помогают выбрать удобный вид числа для вычислений, но не всякая дробь даёт конечную десятичную запись.
Сложение объединяет количества, а вычитание показывает разность или то, сколько осталось после удаления части. Умножение удобно понимать как сложение одинаковых слагаемых, а деление — как распределение на равные части или поиск числа таких частей. Деление проверяют умножением: если 12 : 3 = 4, то 4 · 3 = 12. На ноль делить нельзя, потому что никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевого делимого; выражение 0 : 0 тоже не имеет единственного ответа.
В выражении с несколькими действиями порядок вычислений нужен, чтобы все получили один и тот же результат. Сначала считают то, что заключено в скобки, затем выполняют возведение в степень, если оно есть. Потом выполняют умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание также слева направо. Например, в 8 + 2 · 3 сначала находят 2 · 3, а затем прибавляют 8.
| Числовое множество или действие | Что включает или означает | Пример | Что важно помнить |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта предметов. | 1, 2, 3 | Уточняйте, включён ли ноль в используемое определение. |
| Целые числа | Натуральные числа, противоположные им числа и ноль. | −4, 0, 4 | Отрицательные числа записывают со знаком «−». |
| Рациональные числа | Числа вида m/n, где m и n — целые, n ≠ 0. | 3/4 = 0,75 | Одно число может иметь обыкновенную и десятичную записи. |
| Сложение и вычитание | Объединение количеств и нахождение разности. | 8 + 3 = 11; 8 − 3 = 5 | В дробях перед действием часто нужно найти общий знаменатель. |
| Умножение и деление | Умножение объединяет равные группы; деление распределяет на равные части или ищет число групп. | 4 · 3 = 12; 12 : 3 = 4 | Деление связано с умножением; делить на ноль нельзя. |
Используйте таблицу, чтобы вспомнить, к какому множеству относится число и какой смысл имеет действие. Примеры показывают связь между записью числа и вычислением. В последнем столбце собраны правила, которые помогают избежать ошибок.
Вычислите 348 + 276 − 159. Здесь есть только сложение и вычитание, поэтому действия выполняются по порядку слева направо. При сложении полезно записывать единицы под единицами, десятки под десятками и сотни под сотнями. Затем из полученной суммы вычитают 159.
Вычислите 3/4 + 0,6. Смешивать записи можно, но сначала удобно представить оба числа в одинаковой форме. Дробь 3/4 равна 0,75, потому что 3 : 4 = 0,75. Теперь можно сложить десятичные дроби, выравнивая запятые.
Вычислите 18 − 2 · (3 + 5)² : 4. В выражении есть скобки, степень, умножение, деление и вычитание. Если начать с вычитания или выполнить деление до умножения справа налево, получится неверный результат. Поэтому сначала упрощаем выражение внутри скобок, а умножение и деление выполняем в указанном порядке слева направо.
Иногда ноль без проверки относят к натуральным числам или, наоборот, всегда исключают его. Так происходит потому, что в разных источниках встречаются разные соглашения. Сверьте определение с учебником или условием задачи, а в ответе придерживайтесь именно этого соглашения.
При сложении или вычитании дробей могут отдельно сложить числители и знаменатели, например получить 2/5 + 1/3 = 3/8. Ошибка возникает из-за того, что дробь воспринимают как два независимых числа, хотя знаменатель задаёт размер долей. Приведите дроби к общему знаменателю: 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15, затем проверьте, что складывались равные доли.
Ещё одна ошибка — сложить раньше, чем умножить, или выполнить деление справа налево. Часто это происходит, когда действия читают просто слева направо, не учитывая их ступени. Отметьте скобки, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание; действия одной ступени выполняйте слева направо. Подстановка промежуточного результата обратно в выражение помогает проверить порядок.
Нельзя считать, что на ноль можно делить только потому, что ноль — целое число. При делении проверка умножением не даёт нужного делимого: любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Поэтому в выражении найдите делитель и убедитесь, что он не равен нулю; если равен, частного не существует.
Для уверенной работы с числами нужны навыки счёта, знание разрядов и таблицы умножения, а также понимание обыкновенных дробей. Эти знания помогают выполнять действия письменно и выбирать подходящую форму записи числа. Различение числовых множеств пригодится при решении уравнений и работе с координатной прямой, где числам соответствуют точки. Порядок вычислений также нужен при решении задач на отношения и проценты, в которых часто встречаются дроби и несколько действий.
Относится ли ноль к натуральным числам?
Это зависит от принятого соглашения: в одних определениях натуральные числа начинаются с единицы, в других к ним относят и ноль. Поэтому при решении задачи следует придерживаться определения, используемого в учебнике или условии.
Чем целые числа отличаются от рациональных?
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Рациональные числа шире: каждое из них можно записать дробью m/n, где m и n — целые, а n ≠ 0. Поэтому любое целое число рационально, но не всякое рациональное число целое.
Как представить десятичную дробь в виде обыкновенной?
Конечную десятичную дробь записывают без запятой в числителе, а в знаменателе ставят 10, 100, 1000 и так далее — в зависимости от числа знаков после запятой. Например, 0,6 = 6/10 = 3/5 после сокращения дроби.
Почему на ноль нельзя делить?
Деление проверяют умножением: если a : 0 = c, то должно быть c · 0 = a. Но произведение любого числа на ноль равно нулю, поэтому при a ≠ 0 равенство невозможно. А для 0 : 0 частное нельзя определить однозначно.
Как определить порядок действий в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, если оно есть, после — умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Если скобки вложены, начинают с самых внутренних.
Числа и вычисления
