Изображение пространственных фигур

Определения и обозначения

Пространственная фигура — фигура, расположенная не на плоскости и имеющая длину, ширину и высоту. К многогранникам относятся куб, призма и пирамида, а к телам вращения — цилиндр, конус и шар. Это понятие нужно, чтобы отличать объёмные тела от плоских фигур, например квадрата или круга.

Изображение пространственной фигуры — её условный рисунок на плоскости, по которому можно представить форму и взаимное расположение частей. Полностью передать объём лист бумаги не может, поэтому рисунок использует специальные договорённости. Они помогают читать чертёж и понимать, какие части тела соединены.

Видимая линия — линия фигуры, которую наблюдатель может видеть на выбранном рисунке. Её проводят сплошной линией, чтобы показать открытый, не заслонённый контур тела. Это позволяет сразу отличить видимые части фигуры от тех, что находятся за ними.

Невидимая линия — линия фигуры, закрытая от наблюдателя другой частью тела. На чертеже её изображают штриховой линией, то есть рядом коротких штрихов. Такое обозначение нужно, чтобы не потерять скрытые рёбра и правильно представить устройство фигуры.

Как это устроено

Объёмную фигуру нельзя буквально перенести на плоский лист: у бумаги нет глубины. Поэтому её изображают условно, выбирая такой рисунок, по которому можно узнать форму и понять, как расположены части тела. При этом стараются сохранить важные связи: какие вершины соединены, где находятся грани и какие рёбра параллельны. Некоторые размеры и углы на рисунке могут выглядеть не так, как в самом теле.

На чертеже фигуру показывают в определённом положении и как будто смотрят на неё из выбранной точки. Если повернуть тело или изменить точку зрения, часть рёбер, которая была открыта, может оказаться за другой гранью. Поэтому видимость определяется не только самим телом, но и тем, как его решили изобразить. Перед построением полезно мысленно представить, какая часть фигуры заслоняет другую.

Видимые контуры проводят сплошными линиями, а закрытые — штриховыми, чтобы рисунок не выглядел набором одинаковых отрезков. Штриховка сообщает, что ребро существует, хотя его не видно с выбранной стороны. Если провести его сплошной линией, можно ошибочно решить, что оно находится на переднем плане. Различие линий делает чертёж понятнее и помогает восстановить форму тела.

Многогранник изображают как каркас: отмечают вершины и соединяют их отрезками-рёбрами. Важно соединять именно те вершины, которые соседствуют в настоящей фигуре, иначе получится другой многогранник. Соответствующие рёбра, параллельные друг другу в теле, на рисунке также проводят параллельными отрезками. Благодаря этому сохраняются основные отношения между частями, даже если чертёж не передаёт их настоящие размеры.

У тел с кривыми поверхностями изображают основания и боковые контуры. Окружность, расположенная в пространстве под наклоном к плоскости рисунка, часто выглядит как эллипс; это условный способ показать её положение. У цилиндра верхнее и нижнее основания соединены боковыми линиями, а у конуса боковые линии сходятся в вершине. Для обоих тел нужно различать открытые и заслонённые участки контуров.

Основные правила изображения пространственных фигур

Сначала определите, какие части тела видны с выбранной стороны, а какие закрыты. Затем проверьте, что вершины соединены правильно и параллельные рёбра остаются параллельными. Для круглых оснований учитывайте положение тела, а не стремитесь везде рисовать их одинаково.

Разбор задач

Прямоугольный параллелепипед

Условие. Изобразить прямоугольный параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁, отметить видимые и невидимые рёбра и подписать вершины. Считаем, что нижняя грань — ABCD, а верхняя — A₁B₁C₁D₁. Рисуем тело так, чтобы передняя и верхняя грани были видны.

1. Начните с нижней грани ABCD и изобразите её параллелограммом. Назовите вершины по кругу: A, B, C, D. Это помогает не перепутать соседние и противоположные стороны.
2. Над вершинами проведите параллельные отрезки AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁. Их концы обозначьте A₁, B₁, C₁, D₁. Соедините верхние вершины в том же порядке, что и нижние.
3. Сплошными линиями отметьте рёбра, которые видны с выбранной стороны. Рёбра за телом, например заднее ребро нижней грани, проведите штриховыми. Проверьте, что у каждой вершины сходятся нужные рёбра.

Ответ. Получен каркас параллелепипеда с подписанными вершинами. Видимые рёбра показаны сплошными, закрытые — штриховыми. Если выбрать другой поворот фигуры, набор видимых рёбер может измениться.

Треугольная призма

Условие. По изображению треугольной призмы требуется определить скрытые рёбра, назвать основания и боковые грани. На рисунке две треугольные грани соединены тремя боковыми рёбрами. Нужно проследить связи между вершинами, а не судить только по очертаниям.

1. Найдите два треугольника, соединённые попарно параллельными рёбрами. Это основания призмы, поскольку они равны и расположены параллельно. Запишите вершины каждого треугольника по порядку.
2. Проверьте три отрезка, соединяющие соответствующие вершины оснований. Это боковые рёбра; вместе с рёбрами оснований они ограничивают боковые грани. Каждая боковая грань призмы — параллелограмм.
3. Посмотрите, какие рёбра заслонены ближними гранями. Те, что на изображении даны штрихами, считайте невидимыми, а не отсутствующими. Если тип линии не обозначен, мысленно восстановите положение тела и определите, какие рёбра перекрывает ближняя часть.

Ответ. Основания — два треугольника, а боковые грани — три параллелограмма. Скрытыми являются рёбра, закрытые от выбранной точки зрения другими гранями. Их нужно назвать по обозначениям концов, если вершины подписаны на рисунке.

Цилиндр с высотой

Условие. Построить изображение цилиндра с высотой, проведённой из центра верхнего основания, и показать её невидимую часть. Основания цилиндра круговые, а высота перпендикулярна плоскостям оснований. На плоском чертеже круги изображаются условно.

1. Нарисуйте верхнее и нижнее основания эллипсами, расположив их одно над другим. Соедините их крайние точки боковыми линиями, чтобы получить контур цилиндра. Проверьте, что основания выглядят одинаковыми и соответствуют одному телу.
2. Отметьте центр верхнего основания и проведите от него отрезок к нижнему основанию. Это изображение высоты цилиндра; её конец должен попасть в центр нижнего основания. Обозначьте отрезок, если буквы используются в условии.
3. Определите, какие части эллипсов закрыты боковой поверхностью или находятся с дальней стороны. Видимые контуры оставьте сплошными, а невидимые участки оснований покажите штриховыми. Высоту проведите так, чтобы она не терялась среди контуров.

Ответ. Цилиндр изображён двумя эллипсами и боковыми линиями, а высота соединяет центры оснований. Скрытые участки круговых контуров отмечены штрихами. Такое изображение показывает и форму тела, и положение высоты.

Типичные ошибки

• Все рёбра проводят сплошными линиями. Так делают, если забывают, что часть фигуры закрыта ближними гранями. Проверьте каждое ребро, мысленно глядя на тело с выбранной стороны: заслонённые части должны быть штриховыми.
• Вершины соединяют в неправильном порядке. Ошибка возникает, когда при построении не различают соседние вершины оснований и соответствующие вершины разных оснований. Сверьте, какие рёбра должны образовать каждую грань: у призмы, например, боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований.
• Параллельные рёбра изображают непараллельными. Из-за этого многогранник кажется перекошенным, а его грани трудно распознать. Перед завершением чертежа сравните направления рёбер, которые параллельны в теле, и убедитесь, что на рисунке они тоже параллельны.
• Круглое основание всегда рисуют обычной окружностью. Так забывают, что рисунок зависит от положения основания в пространстве. Представьте наклон тела: основание часто нужно показать эллипсом, чтобы передать его положение, а не только то, что оно круглое.

Связь с другими темами

Для чтения пространственных рисунков нужно знать точку, отрезок, прямую и параллельные прямые, а также понимать, что называют вершиной, ребром и гранью. Эти понятия помогают описывать строение многогранников и не путать их части. Умение изображать фигуры понадобится при изучении объёмов, площадей поверхностей и сечений тел. Оно также помогает решать стереометрические задачи и читать технические чертежи, где форму детали передают на плоскости.

Что запомнить

• Пространственную фигуру изображают на плоскости условным рисунком.
• Видимые линии проводят сплошными.
• Невидимые линии проводят штриховыми.
• На рисунке сохраняют взаимное расположение вершин, рёбер и граней.
• Параллельные рёбра изображают параллельными отрезками.
• Круглое основание пространственного тела часто изображают эллипсом.
• По рисунку нужно уметь определять видимые и скрытые части фигуры.