Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек на плоскости или в пространстве. Фигура может состоять из одной точки, как отдельная отметка, или из множества точек, как прямая. Это понятие позволяет описывать не только отдельные объекты, но и сложные чертежи как совокупности более простых частей.

Точка — простейшая геометрическая фигура, у которой нет размеров: она не имеет длины, ширины или толщины. На чертеже точку обычно показывают маленькой отметкой и подписывают заглавной латинской буквой, например A или B. Такое обозначение нужно, чтобы точно называть выбранное место и не путать его с другими точками.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например m, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например AB. Эти способы помогают указать, о какой именно прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; их называют концами отрезка. Если концы обозначены A и B, отрезок называют AB. В отличие от прямой, отрезок можно измерить: расстояние между его концами имеет конечную длину.

Как это устроено

Любую геометрическую фигуру удобно представлять как совокупность точек, потому что именно точки задают её положение и форму. Например, линия состоит из множества точек, а отдельная точка может быть частью более сложной фигуры. Такой взгляд помогает разбирать чертёж: сначала замечать простые элементы, а затем выяснять, как они соединены и расположены. Поэтому сложные фигуры можно описывать через уже знакомые простые объекты.

Чтобы задать прямую, достаточно выбрать на ней две различные точки. Через эти точки проходит только одна прямая: если бы через одну и ту же пару точек проходили две разные прямые, они не были бы разными в геометрическом смысле. Поэтому двух букв достаточно для обозначения прямой, например AB. Важно, что буквы A и B называют точки, а не концы прямой: у прямой концов нет.

Прямая бесконечна в обе стороны, потому что её нельзя ограничить выбранными точками: они лишь отмечают на ней места. Отрезок, напротив, берут между двумя точками, поэтому за его границы отвечают именно эти точки. Между концами можно измерить расстояние, и результат будет конечным числом. На чертеже концы отрезка отмечают, а прямую обычно продолжают за отмеченные на ней точки.

Точка может принадлежать прямой или находиться вне её. Если точка A лежит на прямой m, записывают A ∈ m; если не лежит — A ∉ m. Эти записи позволяют кратко и точно сообщить расположение точки, не полагаясь только на то, насколько аккуратно она нарисована. Например, на чертеже отметка может выглядеть почти лежащей на линии, но верное отношение задают условие и обозначение.

Геометрический рисунок нужен, чтобы представить фигуры и их взаимное расположение, однако он не заменяет точного описания. Рисуют на конечном листе, поэтому бесконечную прямую показывают лишь небольшим участком; кроме того, из-за толщины линий чертёж может быть не совсем точным. Слова и обозначения устанавливают, какие точки принадлежат прямой, где расположены концы и какие элементы рассматриваются. Поэтому при решении задачи нужно читать и чертёж, и условие, не делая выводов только по внешнему виду рисунка.

Основные геометрические фигуры и их обозначения

Сначала определите, какую фигуру нужно назвать, а затем выберите подходящее обозначение из таблицы. Две буквы AB могут обозначать прямую или отрезок, поэтому смотрите на смысл записи и условие: у отрезка указаны концы, у прямой их нет. Строчная буква обычно относится к прямой, а заглавная — к точке.

Разбор задач

Прямая через две точки

Условие. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите прямую, проходящую через них, и запишите её обозначение. Нужно не перепутать прямую с отрезком AB: точки отмечены на прямой, но не ограничивают её.

1. Проверяем, что A и B — две различные точки. По свойству геометрии через такую пару проходит ровно одна прямая.

2. Называем прямую по двум точкам на ней: прямая AB. Если на чертеже ей присвоена строчная буква, можно назвать и эту букву.

Ответ: прямая AB; её также можно обозначить строчной буквой, указанной на чертеже.

Точки принадлежат прямой или нет

Условие. Точки A и B лежат на прямой m, а точка C не лежит на ней. Запишите эти сведения с помощью обозначений принадлежности. Здесь важно отдельно указать положение каждой точки относительно одной и той же прямой.

1. Для точки, лежащей на прямой, используем знак ∈, который читают «принадлежит» или «лежит на».

2. Записываем A ∈ m и B ∈ m. Для точки вне прямой используем знак ∉, то есть «не принадлежит».

3. Записываем C ∉ m и проверяем, что у всех трёх записей указана прямая m.

Ответ: A ∈ m, B ∈ m, C ∉ m.

Три точки на одной прямой

Условие. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Назовите отрезки с концами в отмеченных точках и объясните, какие из них составляют отрезок AC. Слово «между» определяет порядок точек и помогает понять, как части расположены внутри целого.

1. Выбираем пары точек из A, B и C: получаются отрезки AB, BC и AC. У каждой пары точки являются концами соответствующего отрезка.

2. Так как B находится между A и C, отрезок AB идёт от A до B, а отрезок BC — от B до C. Вместе они покрывают путь от A до C без промежутка и выхода за границы.

3. Значит, отрезок AC состоит из отрезков AB и BC, которые имеют общую точку B.

Ответ: отрезки AB, BC и AC; отрезок AC составлен из AB и BC.

Типичные ошибки

Считать, что прямая ограничена краями рисунка. Так кажется, потому что линия на бумаге действительно заканчивается у края листа или чертежа. Но нарисованный участок лишь изображает часть прямой, которая мысленно продолжается дальше. Проверьте себя: если фигура названа прямой, у неё нет отмеченных концов.

Путать прямую и отрезок. Эти фигуры часто рисуют похожими линиями, поэтому легко забыть, что отрезок ограничен концами, а прямая — нет. Сравните обозначения и условие: у отрезка есть две граничные точки, между которыми можно измерить длину. Если линия продолжается в обе стороны и не имеет концов, это прямая.

Обозначать точку строчной буквой или путать буквы точки и прямой. Ошибка возникает, когда не различают подписи объектов на чертеже. Обычно точку обозначают заглавной буквой A, а прямую — строчной m; прямая также может называться по двум точкам. Перед записью проверьте, какой объект назван и какого регистра его обозначение.

Думать, что через две точки можно провести несколько прямых. На неаккуратном рисунке может показаться, будто линии проходят рядом с точками по-разному. Однако через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Чтобы проверить рассуждение, сначала убедитесь, что точки разные, а затем используйте это свойство, а не приблизительный вид чертежа.

Связь с другими темами

Для чтения чертежей нужно различать отмеченные точки и понимать, что заглавные и строчные латинские буквы обозначают разные объекты. Это простое правило помогает точно записывать условие задачи. Оно пригодится и при знакомстве с новыми геометрическими обозначениями.

Точки, прямые и отрезки станут основой для изучения лучей, углов и многоугольников. Эти фигуры строят или описывают, опираясь на положение точек и частей прямых. Поэтому понимание простейших элементов помогает разбирать более сложные чертежи.

Отрезок имеет конечную длину, поэтому его можно измерять и сравнивать с другими отрезками. Это понадобится в задачах о расстояниях и длинах. При решении важно отличать сам отрезок от бесконечной прямой, на которой он расположен.

Что запомнить

• Геометрическая фигура состоит из точек.
• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Рисунок прямой изображает только её часть.