Числа и вычисления

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, используемые при счёте. В принятой здесь записи их ряд начинается с 1: 1, 2, 3, … Например, натуральными числами считают предметы или называют место предмета при счёте. С ними удобно описывать количество, но вычесть из меньшего натурального числа большее, не выходя из этого ряда, нельзя.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль. К примеру, −4 противоположно числу 4, а 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Целые числа расширяют числовой ряд в обе стороны и позволяют записывать результаты вычитания, которые меньше нуля.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3/5 и −7/2 рациональны, а целое число 4 тоже можно записать как 4/1. Это понятие нужно, чтобы работать с частями целого и результатами деления, не всегда являющимися целыми.

Арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. При сложении слагаемые дают сумму; при вычитании из уменьшаемого вычитают вычитаемое и получают разность. При умножении множители дают произведение, а при делении делимое делят на делитель и получают частное. Названия помогают понимать роль каждого числа в записи действия.

Как это устроено

В натуральных числах можно прибавить одно число к другому и умножить их, но вычитание не всегда даёт натуральный результат: например, 3 − 5 меньше нуля. Чтобы такой результат можно было записать, числовую область расширили отрицательными числами и нулём, получив целые числа. Затем обнаружилось, что и целых чисел не хватает для деления: 1 : 2 не является целым числом. Дроби позволили записывать такие результаты, поэтому понадобились рациональные числа.

Новые множества чисел включают предыдущие, чтобы прежние записи и правила не потеряли смысл. Каждое натуральное число является целым, ведь его можно включить в ряд целых чисел без изменения значения; целое число, в свою очередь, можно представить дробью со знаменателем 1. Поэтому натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные. Например, 6 = 6/1, а −3 = −3/1, но 2/5 рационально и не является целым.

Порядок действий нужен, чтобы одно выражение все понимали одинаково и получали один результат. Сначала вычисляют выражения в скобках, затем степени, после них — умножение и деление по порядку слева направо, а в конце — сложение и вычитание также слева направо. Например, в записи 8 + 3 · 2 сначала умножают 3 на 2, а не складывают 8 и 3. Скобки позволяют изменить обычный порядок и показать, какую часть выражения нужно вычислить первой.

Переместительное свойство сложения и умножения разрешает менять местами числа: a + b = b + a и ab = ba. Сочетательное свойство помогает группировать слагаемые или множители удобным образом: (a + b) + c = a + (b + c), а для умножения правило такое же. Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac связывает умножение со сложением. Эти правила нужны не только для записи: с их помощью можно сгруппировать удобные числа, упростить вычисление или раскрыть скобки.

Проверка нужна потому, что даже аккуратное вычисление может содержать случайную ошибку. Прикидка показывает ожидаемый размер ответа: например, произведение чисел около 2 и 3 должно быть около 6, а не 60. Обратное действие проверяет связь между числами: разность можно сложить с вычитаемым, чтобы получить уменьшаемое. Если решено уравнение, найденное число подставляют в исходную запись и смотрят, верно ли равенство.

Числовые множества и действия с числами

Сначала найдите в таблице нужное множество и проверьте, какие числа в него входят. Затем сверьте действие с его компонентами: это помогает правильно называть числа в записи. Примеры показывают, как определения и действия выглядят в числовой форме.

Разбор задач

В примерах разберём вычисления и способы проверить их. Перед началом полезно определить, какие действия предстоит выполнить и есть ли ограничения, например деление на ноль. Запись шагов помогает заметить, где могло возникнуть расхождение.

Задача 1. Вычислите 248 + 375 − 123 и проверьте результат обратным действием.

1. Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их слева направо: 248 + 375 = 623.
2. Вычитаем 123: 623 − 123 = 500. Полученное число удобно проверить, потому что оно круглое, но одной прикидки недостаточно.
3. Складываем разность и вычитаемое: 500 + 123 = 623. Получили промежуточную сумму, значит вычитание выполнено верно; также 623 − 375 = 248 подтверждает первое действие.

Ответ: 500.

Задача 2. Вычислите 3/4 + 5/6 − 1/3. Дроби имеют разные знаменатели, поэтому складывать и вычитать только числители нельзя: сначала нужно выразить доли в одинаковых частях целого.

1. Наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 3 — 12. Заменяем дроби равными: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, 1/3 = 4/12.
2. Выполняем действия слева направо, оставляя знаменатель 12: 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12.
3. Сокращаем дробь на 3: 15/12 = 5/4 = 1 1/4. Ответ больше 1, что согласуется с тем, что первые две дроби в сумме дают больше единицы.

Ответ: 5/4, или 1 1/4.

Задача 3. Вычислите 2,4 · (3,5 − 1,25) + 6,3 : 0,9 и предварительно оцените результат. В скобках разность немного больше 2, поэтому произведение будет около 5; частное 6,3 : 0,9 равно 7. Значит, весь ответ должен быть примерно 12, а не, например, 120.

1. Сначала вычитаем в скобках: 3,5 − 1,25 = 2,25.
2. Выполняем умножение и деление: 2,4 · 2,25 = 5,4, а 6,3 : 0,9 = 7.
3. Складываем результаты: 5,4 + 7 = 12,4. Полученное значение близко к предварительной оценке, значит оно правдоподобно.

Ответ: 12,4.

Типичные ошибки

При сложении или сравнении дробей иногда отдельно складывают или сравнивают числители и знаменатели. Так делают, когда воспринимают дробь как две независимые записи, хотя знаменатель показывает размер долей. Например, 1/2 + 1/3 — это не 2/5: половины и трети имеют разный размер. Приведите дроби к общему знаменателю и проверьте, что единицы-доли стали одинаковыми.

Другая ошибка — выполнять всё только слева направо, не учитывая скобки и приоритет умножения и деления. Порядок слева направо действует лишь для действий одного уровня; умножение выполняют раньше сложения. Ошибка возникает, если выражение читают как обычную цепочку слов. Перед вычислением отметьте скобки и расставьте действия по уровням, затем сравните, совпадает ли ваш порядок с правилом.

При действиях с отрицательными числами можно перепутать знак самого числа со знаком действия. Например, в записи 5 − (−2) минус внутри скобок относится к числу, а действие снаружи — это вычитание. Из-за этого легко получить неверный знак результата. Перепишите выражение аккуратно и проверьте результат смыслом: вычесть отрицательное число — значит прибавить противоположное ему положительное.

При делении на дробь некоторые делят числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Такой способ не заменяет правило деления дробей: нужно умножить делимое на дробь, обратную делителю. Путаница возникает потому, что при умножении дробей действительно перемножают числители и знаменатели, но деление устроено иначе. Проверьте преобразование умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Связь с другими темами

Для работы с числами нужно уверенно читать запись натуральных чисел, знать таблицу умножения, понимать смысл дроби и правила действий с положительными числами. Это основа вычислений, на которую опираются при изучении новых тем. Числовые множества и свойства действий помогают преобразовывать выражения и решать уравнения и неравенства. Те же вычислительные навыки нужны при работе с отношениями, процентами, степенями и выражениями с переменными.

Что запомнить

• Натуральные числа входят в множество целых чисел.
• Целые числа входят в множество рациональных чисел.
• На ноль делить нельзя.
• Перед вычислениями определите порядок действий.
• Свойства сложения и умножения помогают упростить вычисления.
• Проверяйте результат обратным действием или прикидкой.