Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и, если нужно, скобок. Например, 7 + 4 и 3 · (8 − 2) — числовые выражения: указанные в них действия можно выполнить. Такая запись помогает представить вычисление целиком, а не перечислять отдельные шаги.

Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий выражения. Например, значение выражения 7 + 4 равно 11. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись вычисления от результата, который она даёт.

Порядок действий — правила, по которым определяют, какие действия выполнять раньше, а какие позже. Без этих правил одну запись можно было бы посчитать разными способами и получить разные результаты. Порядок помогает всем правильно и одинаково вычислять выражения.

Скобки — знаки, указывающие, какие действия нужно выполнить в первую очередь. В записи 3 · (8 − 2) сначала выполняют вычитание внутри скобок. Скобки нужны, чтобы явно задать нужную последовательность вычислений.

Как это устроено

Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками арифметических действий; при необходимости часть записи заключают в скобки. Например, из чисел 5 и 2 можно составить выражение 5 + 2, а из чисел 5, 2 и 3 — 5 + 2 · 3. Отдельное число тоже может быть значением выражения, но оно само по себе не показывает действия, которые привели к результату. Выражение, напротив, задаёт вычисление, которое нужно выполнить.

Если скобок нет, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Это правило позволяет однозначно понять запись: в 5 + 2 · 3 сначала находят произведение 2 · 3, а затем складывают его с 5. Если бы действия выполняли без такого приоритета, слева направо, получилось бы другое число. Поэтому порядок действий — не выбор вычисляющего, а общее правило чтения выражения.

Сложение и вычитание относятся к действиям одной ступени; умножение и деление — тоже действия одной ступени. Когда такие действия стоят рядом, их выполняют последовательно слева направо. Например, в 18 − 6 + 2 сначала выполняют вычитание, затем сложение, а в 24 : 3 · 2 — сначала деление, затем умножение. Правило слева направо относится именно к действиям одной ступени, а не ко всему выражению подряд.

Скобки ставят, когда нужно выполнить действие раньше того, которое обычно имело бы преимущество. Например, 2 · (3 + 4) и 2 · 3 + 4 имеют разные значения: в первом случае сначала складывают, во втором — сначала умножают. Скобки меняют последовательность вычислений, поэтому могут изменить и результат. Убирая их, важно проверить, не изменится ли установленный порядок.

В выражении с несколькими действиями сначала вычисляют то, что заключено в скобки. Затем выполняют умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание слева направо. Если скобок несколько, начинают с внутренних и переходят к внешним. После каждого шага полезно записывать получившееся выражение: так легче не пропустить действие и сохранить порядок.

Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь наличие скобок, затем ищи умножение и деление, а в конце выполняй сложение и вычитание. Если рядом стоят действия одной ступени, двигайся слева направо. После каждого вычисления подставляй результат и продолжай проверять порядок.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения 18 + 6 − 9. Здесь есть только сложение и вычитание, то есть действия одной ступени. Поэтому начинаем с действия, которое стоит левее.

1. Выполняем сложение слева: 18 + 6 = 24.
2. В полученной записи 24 − 9 выполняем оставшееся действие: 24 − 9 = 15.

Ответ: 15. Мы не выбирали между сложением и вычитанием по знаку: оба действия равноправны и выполняются по порядку слева направо. Такая проверка особенно полезна, когда вычитание стоит раньше сложения.

Задача 2. Найти значение выражения 24 − 3 · 5. Здесь есть вычитание и умножение, но они не одной ступени. Значит, сначала нужно выполнить умножение, даже если оно записано правее.

1. Считаем произведение: 3 · 5 = 15.
2. Подставляем результат: 24 − 15 = 9.

Ответ: 9. Если начать с вычитания, можно получить неверный результат. Чтобы проверить себя, найди в исходной записи умножение: оно должно быть выполнено раньше вычитания.

Задача 3. Найти значение выражения (36 − 12) : 4 + 7 · 2. Здесь есть скобки, деление, умножение и сложение. Чтобы не перепутать очередность, сначала вычислим скобки, а затем отметим действия второй ступени.

1. Считаем в скобках: 36 − 12 = 24. Получаем 24 : 4 + 7 · 2.
2. Выполняем деление и умножение: 24 : 4 = 6, 7 · 2 = 14. Эти действия независимы, поэтому можно вычислить каждое из них.
3. Складываем результаты: 6 + 14 = 20.

Ответ: 20. Сложение выполняется после умножения и деления, поэтому складывать до них нельзя. В конце можно проверить, что скобки посчитаны первыми и ни одно действие не пропущено.

Типичные ошибки

Ошибка: выполнять все действия строго слева направо. Так делают, перенося верное правило для действий одной ступени на всё выражение. Проверь себя: если встречается умножение или деление, сначала выполни его, если оно не заключено в ещё не вычисленные скобки.

Ошибка: сначала складывать или вычитать, а потом умножать и делить. Обычно так происходит, когда читают запись только по порядку слева направо и не учитывают ступени действий. Проверь, нет ли в выражении умножения или деления перед тем, как переходить к сложению и вычитанию.

Ошибка: считать, что скобки можно не учитывать или просто убрать. Их пропускают, если считают знаки оформления, но скобки задают, что вычислять первым, и могут изменить результат. Для проверки сначала отдельно выполни действия внутри каждой пары скобок.

Ошибка: после вычисления скобок сразу выполнять оставшиеся действия слева направо. Скобки задают только первый этап, а не отменяют правила для всей остальной записи. Проверь выражение заново: после скобок найди умножение и деление, затем переходи к сложению и вычитанию.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно находить значения выражений, нужно знать арифметические действия с натуральными числами и уметь их выполнять. Правила порядка действий не заменяют навыки вычислений, а подсказывают, в какой последовательности применить сложение, вычитание, умножение и деление. Если вычислительные действия освоены, порядок помогает организовать решение.

То же правило понадобится при работе с дробями, десятичными числами и степенями. В таких выражениях появляются новые числа и действия, но скобки, приоритет умножения и деления, а также порядок слева направо для действий одной ступени остаются важными. Поэтому умение разбирать порядок действий служит основой для более сложных вычислений.

Что запомнить

• Запись из чисел, знаков действий и скобок может быть числовым выражением.
• Значение выражения — результат вычислений.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• Чтобы найти значение выражения, нужно соблюдать установленный порядок действий.