Длина, ширина и высота параллелепипеда

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Его можно представить как коробку с прямыми углами. Это название помогает отличить такую фигуру от параллелепипедов, у которых грани могут быть наклонными или не прямоугольными.

Длина — обычно больший размер основания прямоугольного параллелепипеда, который обозначают буквой a. Она показывает, насколько протяжённо основание в одном направлении. Обозначение удобно для записи формул и расчётов.

Ширина — второй размер основания, который обычно обозначают буквой b. Она измеряет сторону основания в направлении, перпендикулярном длине. Вместе длина и ширина задают прямоугольное основание, поэтому по ним можно найти его площадь.

Высота — расстояние между основаниями прямоугольного параллелепипеда; её часто обозначают буквой h или c. Высота показывает, насколько далеко друг от друга расположены основания. Это измерение нужно, например, чтобы вычислить объём фигуры.

Как это устроено

Построить прямоугольный параллелепипед можно мысленно так: возьмём прямоугольник и передвинем его в направлении, перпендикулярном его плоскости. Если все точки прямоугольника перемещаются на одинаковое расстояние, получится равная ему противоположная грань. Соединив соответствующие вершины, получим боковые грани-прямоугольники, а расстояние перемещения станет высотой.

У фигуры три измерения, потому что для её размеров нужны три независимых направления: два внутри основания и одно между основаниями. В прямоугольном параллелепипеде эти направления взаимно перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом. Каждое измерение равно длине ребра, идущего в соответствующем направлении; поэтому размеры удобно измерять линейкой по рёбрам.

Чтобы определить названия рёбер на рисунке, сначала выберите основание — обычно это нижняя грань. Две стороны прямоугольника-основания называют длиной и шириной, а боковые рёбра, соединяющие основания, соответствуют высоте. Если фигуру повернули, меняется её положение на листе, но не расстояние между основаниями; высота при этом не обязана выглядеть вертикальной.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны и параллельны, поэтому соответствующие им рёбра тоже равны. Например, все рёбра, идущие в направлении длины, имеют одну и ту же длину. Так устроена фигура: противоположные стороны каждого прямоугольника равны, а при переносе основания его размеры сохраняются.

Длина и ширина задают площадь основания: Sосн = ab. Если такое основание мысленно повторить по всей высоте h, получится объём V = abh, потому что площадь основания умножается на расстояние между основаниями. Для полной площади поверхности складывают площади трёх пар равных граней: S = 2(ab + ah + bh).

Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда

Сначала установите, какое основание выбрано, и только после этого соотносите рёбра с названиями измерений. Обозначения a, b и h помогают подставлять размеры в формулы, но сами по себе не указывают на положение ребра на рисунке. Единицы в последнем столбце относятся к длинам, а не к площади или объёму.

Разбор задач

Задача 1. У прямоугольного параллелепипеда длина 8 см, ширина 5 см и высота 3 см. Назовём измерения и найдём объём. Объём показывает, сколько кубиков с ребром 1 см поместится внутри фигуры.

1. Выделим три измерения: a = 8 см, b = 5 см, h = 3 см. Все они заданы в сантиметрах, поэтому переводить единицы не нужно. Для объёма перемножим длину, ширину и высоту.
2. Подставим значения в формулу V = abh: V = 8 · 5 · 3 = 120. Единица объёма — кубический сантиметр, потому что перемножены три длины в сантиметрах. Значит, V = 120 см³.

Ответ: измерения равны 8 см, 5 см и 3 см; объём — 120 см³.

Задача 2. На рисунке указаны рёбра 6 см, 4 см и 2 см; основанием считается нижняя грань. Нужно определить длину, ширину и высоту, а затем найти площадь основания. Два ребра нижней грани задают её стороны, а третье измерение ведёт к противоположному основанию.

1. Определим, какие рёбра принадлежат нижней грани: по условию это стороны основания длиной 6 см и 4 см. Их можно назвать длиной и шириной; в обычном соглашении больший размер основания — длина. Ребро 2 см соединяет основания, значит, это высота.
2. Площадь прямоугольного основания равна произведению его сторон: Sосн = 6 · 4 = 24 см². Высота в этом вычислении не участвует, потому что она не является стороной нижней грани. Получаем площадь основания 24 см².

Ответ: длина — 6 см, ширина — 4 см, высота — 2 см; площадь основания — 24 см².

Задача 3. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 120 см³, длина — 10 см, ширина — 4 см. Найдём высоту и площадь полной поверхности. Сначала восстановим недостающее измерение из формулы объёма, затем используем все размеры для площади граней.

1. Из V = abh выразим высоту: h = V/(ab). Подставим известные значения: h = 120/(10 · 4) = 120/40 = 3 см. Проверка: 10 · 4 · 3 = 120 см³, значит, найденная высота согласуется с объёмом.
2. Полная поверхность состоит из двух граней площадью ab, двух граней площадью ah и двух граней площадью bh. Поэтому S = 2(ab + ah + bh) = 2(10 · 4 + 10 · 3 + 4 · 3) = 2(40 + 30 + 12) = 164 см². Площадь выражается в квадратных сантиметрах.

Ответ: высота — 3 см, площадь полной поверхности — 164 см².

Типичные ошибки

Ошибка — называть длиной, шириной и высотой любые три видимых ребра, не выяснив, где основание. Так происходит, когда ориентируются только на то, как фигура нарисована. Проверьте себя: два выбранных ребра должны образовывать стороны основания, а высота должна соединять основания.

Высоту иногда принимают за ребро, которое на листе нарисовано вертикально или кажется наклонным. Но изображение может быть повёрнуто, поэтому внешний вид направления не определяет высоту. Найдите две грани-основания и проверьте, какое расстояние разделяет их перпендикулярно.

Нельзя без перевода перемножать измерения, выраженные, например, в сантиметрах и метрах. Число может получиться, но единица результата окажется неверной. Перед расчётом приведите все длины к одной единице и проверьте, что площадь записана в квадратных, а объём — в кубических единицах.

Формулы V = a + b + h и 2(a + b + h) не находят объём параллелепипеда: они складывают длины и не учитывают, как размеры сочетаются в пространстве. Объём — это произведение трёх измерений: V = abh. Для проверки оцените смысл ответа: объём должен выражаться в кубических единицах, а не в сантиметрах.

Связь с другими темами

Для работы с измерениями нужны знания о прямоугольнике: его сторонах, прямых углах и площади. Площадь основания находят умножением длины на ширину, а единицы длины используют для записи всех трёх размеров. Если единицы различаются, перед вычислением их переводят к одинаковым.

Зная длину, ширину и высоту, можно находить объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Эти формулы связывают геометрические измерения с практическими расчётами. Позже тот же подход помогает работать с другими пространственными фигурами.

Измерения применяют в задачах о коробках, комнатах, резервуарах и других предметах. По ним можно оценить, сколько вещей поместится в коробку, сколько места занимает комната или какова вместимость ёмкости. В таких задачах сначала важно правильно понять, что именно измеряют и в каких единицах.

Что запомнить

• Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.
• Измерения равны длинам трёх взаимно перпендикулярных рёбер.
• Длину и ширину обычно рассматривают как стороны основания.
• Высота — расстояние между основаниями.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты.
• Перед вычислениями все длины нужно выразить в одинаковых единицах.
• Названия измерений зависят от выбранного основания и положения фигуры.