Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — объект без размеров; её обозначают заглавной латинской буквой, например A. На рисунке точка выглядит как маленькая отметка, но сама отметка лишь показывает её положение. Точки нужны, чтобы указывать места на плоскости и задавать другие фигуры.

Прямая — бесконечная линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её обозначают строчной латинской буквой или двумя точками, лежащими на ней, например прямой AB. Такое обозначение позволяет назвать линию и отличить её от других прямых на чертеже.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Его можно обозначить буквами концов, например отрезок AB. Отрезок нужен, когда рассматривают ограниченную часть линии или измеряют расстояние между двумя точками.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. В его обозначении сначала пишут букву начала, а затем букву любой другой точки луча: луч AB начинается в точке A и проходит через B. Это помогает определить, откуда и в каком направлении продолжается луч.

Как это устроено

Точку считают простейшей фигурой, потому что у неё нет длины, ширины или площади, которые можно было бы измерить. При этом она точно указывает положение: например, отметив точки A и B, можно говорить о конкретных местах, а не о неопределённых участках. Из точек удобно строить и описывать более сложные фигуры. Поэтому на чертежах точку показывают условной отметкой и подписывают буквой.

Прямую можно представить как отрезок, который продолжают за оба конца без остановки. У самого отрезка есть две граничные точки, а у прямой таких границ нет, поэтому она продолжается бесконечно в обоих направлениях. На рисунке её изображают только частью, поскольку лист конечен; мысленно линия уходит дальше нарисованного. Это различие важно при сравнении: у отрезка есть длина, которую можно измерить, а прямая не ограничена двумя точками.

Чтобы получить луч, на прямой выбирают точку и принимают её за начало. Затем линию рассматривают только в одном из двух направлений от этой точки, а в противоположную сторону она не входит в луч. Луч продолжается бесконечно, потому что после начальной точки у него нет второй границы. Поэтому стрелка на схеме может подсказать направление, но не означает, что луч заканчивается у края рисунка.

Буквы помогают не путать фигуры и точно описывать их границы. Для прямой можно назвать любые две лежащие на ней точки, а для отрезка буквы указывают именно его концы. У луча первая буква особенно важна: она показывает начало, а следующая задаёт направление через точку на луче. Если поменять буквы местами, получится луч с другим началом, даже если обе точки останутся теми же.

Сравнение простейших геометрических фигур

Сначала посмотрите, сколько границ у фигуры, а затем решите, можно ли измерить её длину. Последний столбец подсказывает, как записать название; для луча обязательно проверьте порядок букв. Так таблица помогает быстро сравнить фигуры и не спутать их.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите фигуру, ограниченную этими точками. Чтобы ответить, нужно понять, служат ли точки границами фигуры или просто лежат на ней. В условии сказано, что фигура ограничена именно этими двумя точками.

1. Фигура с двумя концами называется отрезком.
2. Точки A и B являются его концами, поэтому используем их буквы для обозначения.
3. Записываем обозначение отрезка AB.

Ответ: отрезок AB.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C. Запишите обозначения двух лучей с началом в B, проходящих через A и C. В обоих случаях начало одно и то же, поэтому буква B должна стоять первой. После неё укажем точку, через которую проходит соответствующий луч.

1. Луч начинается в B и проходит через A — записываем BA.
2. Луч начинается в B и проходит через C — записываем BC.
3. Проверяем, что первая буква в каждом обозначении — B.

Ответ: лучи BA и BC.

Задача 3. Проведите прямую через точки A и B, отметьте на ней точку C между ними и точку D вне отрезка AB. Назовите прямую, отрезки и лучи, которые можно указать по рисунку. Нужно различать всю бесконечную линию и её части, заданные точками. Считаем, что точки A, C, B и D лежат на одной прямой, а C находится между A и B.

1. Всю линию можно назвать прямой AB; на ней также лежат C и D.
2. Между отмеченными точками получаются отрезки AC, CB и AB. Если D расположен вне отрезка AB, на прямой также можно назвать отрезки AD, CD и BD.
3. Луч можно задать началом и другой точкой: например, луч AB начинается в A и проходит через B, а луч BA начинается в B и проходит через A. Аналогично указывают лучи с началами C и D, каждый раз ставя начало первым.

Ответ: прямая AB; отрезки AC, CB, AB, AD, CD и BD; лучи, обозначенные по началу и направлению, например AB и BA. Если точка D расположена с другой стороны или порядок точек на рисунке иной, перечень отрезков и направлений следует сверить с этим расположением.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что у прямой есть концы, потому что на чертеже видят линию ограниченной длины. Так происходит из-за размеров листа или экрана, но рисунок показывает лишь часть прямой. Проверьте себя: если речь о прямой, мысленно продолжите её в обе стороны за нарисованные края.

Прямую иногда путают с отрезком, ведь на рисунке обе фигуры могут выглядеть как линия между двумя отметками. Различие не в том, как выглядит штрих, а в наличии границ: у отрезка два конца, у прямой их нет. Чтобы проверить ответ, спросите себя, заданы ли две точки именно как концы или просто отмечены на линии.

При записи луча можно по привычке переставить буквы местами. Ошибку допускают, когда считают обозначение луча таким же, как обозначение отрезка, где порядок концов не задаёт направление. Проверьте первую букву: она должна обозначать начало луча, а следующая — точку, через которую он проходит.

Ещё одна ошибка — считать, что луч ограничен с двух сторон, словно отрезок. Её легко допустить, если принять вторую букву обозначения за конец фигуры. Проверьте себя: у луча есть только начало, а линия после указанной второй точки продолжается дальше в том же направлении.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно уметь отмечать точки на рисунке и различать заглавные латинские буквы, которыми они обозначены. Это помогает читать условие и правильно называть фигуры. Если перепутать подписи точек, можно неверно определить границы отрезка или начало луча.

Прямые и отрезки понадобятся при изучении углов, многоугольников и измерения расстояний. Например, стороны многоугольника являются отрезками, а лучи помогают задавать стороны угла. Умение отличать бесконечную линию от её ограниченной части станет основой для построений и чтения геометрических чертежей.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У отрезка два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• В обозначении луча сначала пишут букву его начала.
• Через две различные точки можно провести единственную прямую.