"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числовые и буквенные выражения, уравнения и текстовые задачи помогают записывать математические связи и находить неизвестные величины. Чтобы успешно работать с ними, нужно соблюдать порядок действий, правильно подставлять значения вместо букв и выполнять преобразования, сохраняющие корни уравнения. При решении задачи важно не только получить число, но и проверить, подходит ли оно по смыслу, условию и единицам измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 18 − 2 · 5 — числовое выражение, а его значение равно 8. Чтобы найти значение, действия выполняют в установленном порядке. Это понятие нужно, чтобы кратко записывать вычисления и получать точный результат.
Буквенное выражение содержит числа, знаки действий и буквы, которые обозначают переменные — величины, способные принимать разные значения. Например, 3a + 2 — буквенное выражение, а при a = 4 его значение равно 14. Для вычисления вместо каждой буквы подставляют заданное число и выполняют действия. Такие записи позволяют описывать правило сразу для многих значений.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным. Найденное значение называют корнем уравнения: оно должно делать левую и правую части равными. Уравнения помогают находить неизвестные величины по известным связям.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью математических средств: выражения, уравнения или схемы. Например, если к числу прибавили 7 и получили 20, связь можно записать уравнением x + 7 = 20. Модель сохраняет важные отношения из условия, но делает их удобными для вычислений. Она нужна, чтобы перейти от словесного описания к решению, а затем истолковать результат.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все читали одинаково и получали одинаковый результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Скобки задают другую последовательность: например, 18 − 2 · 5 = 8, а (18 − 2) · 5 = 80. Поэтому скобки ставят, когда нужно объединить часть выражения и выполнить её раньше остальных действий.
Буквы в выражении обозначают числа, поэтому вычисление начинается с их замены на заданные значения. Если a = −3, то в выражении 2a + 5 нужно записать 2 · (−3) + 5: скобки показывают, что отрицательное число является значением a целиком. После подстановки перед нами уже числовое выражение, и его считают по обычному порядку действий. Этот способ позволяет проверить, какое значение принимает формула при конкретных данных.
При решении уравнения преобразования помогают постепенно оставить неизвестное в одной части равенства. Например, к обеим частям можно прибавить одно и то же число или умножить их на одно и то же ненулевое число: равенство сохраняется, а корни не меняются. Такие действия называют равносильными преобразованиями, если исходное и полученное уравнения имеют одни и те же корни. Деление на выражение требует осторожности: если оно может быть равно нулю, деление способно исключить допустимый корень, поэтому сначала рассматривают этот случай.
Математическую модель текстовой задачи строят, последовательно связывая слова и величины. Сначала определяют, что известно и что требуется найти, затем выбирают неизвестную величину и записывают отношения из условия — уравнением, выражением или схемой. Решение модели даёт значение, которое ещё нужно перевести обратно на язык задачи: назвать найденную величину и ответить на поставленный вопрос. Такой переход необходим, потому что математическая запись сама по себе не объясняет, что означает полученное число.
Проверка нужна, чтобы не принять ошибочный результат за правильный. В вычислениях можно пересчитать действия в обратном порядке или оценить, разумен ли ответ по величине; корень подставляют в исходное уравнение. В задаче найденное значение проверяют по всем условиям, вопросу и единицам измерения. Разные виды проверки дополняют друг друга: вычислительная проверяет счёт, а смысловая — подходит ли результат ситуации.
| Вид задания | Что требуется найти | Основной приём | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Вычисление числового выражения | Значение выражения | Выполнить действия по порядку, учитывая скобки | Пересчитать этапы и оценить результат |
| Нахождение значения буквенного выражения | Число при заданных значениях переменных | Подставить числа вместо букв и вычислить | Проверить подстановку и порядок действий |
| Решение уравнения | Все корни уравнения | Выполнить равносильные преобразования | Подставить корень в исходное уравнение |
| Решение текстовой задачи | Величину, о которой спрашивается | Составить математическую модель и решить её | Сверить результат с условием, вопросом и единицами |
Сначала найди в таблице вид задания и уточни, какой результат от тебя требуется. Затем выбери основной приём, не пропуская проверку: она подсказывает, каким способом убедиться в ответе. В текстовой задаче проверка особенно важна, потому что найденный корень модели не всегда автоматически является ответом на вопрос.
Условие. Вычислить значение выражения (24 − 6 · 3) + 16 : 4. Сначала нужно определить, какие действия ограничены скобками, а какие выполняются после них. Знаки · и : обозначают умножение и деление.
Ответ: 10. Такой порядок вычислений важен: если начать со сложения или вычитания вне скобок, получится значение, не соответствующее записи.
Условие. Найти значение выражения 2a² − 3b при a = −2 и b = 4. Нужно заменить каждую букву её значением, сохранив знаки и группировку. Особенно внимательно поступаем с отрицательным значением a.
Ответ: −4. Если бы при возведении в квадрат забыли скобки и прочитали запись как −2², результат степени имел бы другой знак.
Условие. В двух коробках 34 карандаша. Во второй коробке на 6 карандашей больше, чем в первой. Сколько карандашей в каждой коробке? Выберем неизвестную величину так, чтобы количество во второй коробке можно было сразу выразить через неё.
Ответ: в первой коробке 14 карандашей, во второй — 20 карандашей. Проверка подтверждает оба условия, а названия величин в ответе показывают, какое число к какой коробке относится.
Действия выполняют не по порядку. Обычно ученик торопится и считает слева направо, не замечая умножения, деления или скобок. В результате меняется значение выражения. Разбивай вычисление на этапы и после каждого записывай промежуточную строку; затем проверь, какое действие должно было выполняться первым.
Отрицательное число подставляют без скобок. Тогда знак минус может относиться не к значению буквы, а к отдельному действию, и смысл записи изменится. Ошибку часто допускают, потому что считают скобки необязательными. При подстановке сразу записывай, например, a = −3 как (−3), а затем отдельно проверь порядок действий.
Уравнение преобразуют неравносильным способом. Например, делят обе части на выражение, которое может быть равно нулю, и тем самым теряют возможный корень. Или выполняют действие только с одной частью равенства. Перед преобразованием спроси себя, сохранит ли оно все корни; если делитель зависит от неизвестного, отдельно проверь случай, когда он равен нулю.
Найденное число сразу записывают как ответ задачи. Число может обозначать не ту величину, быть невозможным по смыслу или требовать других единиц измерения. Такая ошибка возникает, когда после решения уравнения не возвращаются к условию. Подставь результат в отношения из задачи, ответь именно на заданный вопрос и укажи единицы, если они нужны.
Для работы с выражениями нужны арифметические действия, порядок действий и умение раскрывать смысл скобок: без этих навыков легко получить неверное значение. Буквенные выражения и уравнения становятся основой для формул и функций, где буквы описывают зависимость величин; позднее эти умения пригодятся и при решении систем уравнений. Математическое моделирование — составление математической записи по условию — применяется не только в учебных текстовых задачах, но и в практических ситуациях, когда нужно рассчитать величины или сравнить варианты.
С чего начинать вычисление выражения со скобками?
Сначала выполняй действия в скобках, а затем остальные действия по установленному порядку. Если скобок несколько, начинай с самых внутренних.
Как правильно подставлять отрицательное число вместо буквы?
Заключи отрицательное число в скобки и замени им букву вместе с её знаком. Например, если a = −3, то a² = (−3)² = 9.
Зачем проверять корень уравнения?
Подстановка найденного числа в исходное уравнение показывает, обращаются ли его левая и правая части в одинаковые значения. Так можно обнаружить ошибку в преобразованиях или вычислениях.
Как понять, какую величину обозначить за неизвестную в задаче?
Выбери величину, которую проще всего выразить через остальные и которая связана с вопросом задачи. Обозначь её буквой, укажи единицы измерения и запиши известные связи между величинами.
Почему найденное при решении число может не быть ответом задачи?
Число может не подходить условию: например, оказаться отрицательным количеством предметов или измерять не ту величину. Кроме того, в ответе нужно указать, что именно найдено, и при необходимости записать единицы измерения.
Основные задания
