"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, а прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, составленная из прямоугольных граней. У прямоугольника равны противоположные стороны, у параллелепипеда — противоположные грани. Его размеры задают длина, ширина и высота. Эти свойства помогают считать периметр и площади, разбирать чертежи и решать задачи о коробках и других предметах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Его вершины обычно обозначают заглавными буквами, например A, B, C и D, и записывают прямоугольник как ABCD по порядку обхода. Это обозначение помогает на чертеже различать стороны и указывать их длины.
Прямоугольный параллелепипед — пространственная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Его изображают на плоскости так, чтобы были видны передние и боковые грани, а невидимые рёбра обычно показывают пунктиром. Вершины обозначают буквами, например ABCD и EFGH, чтобы можно было описать элементы фигуры.
Грань — прямоугольник, составляющий часть поверхности параллелепипеда; ребро — отрезок, по которому пересекаются две грани; вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Например, у коробки грань — её стенка, ребро — край стенки, вершина — угол коробки. Различать эти части нужно, чтобы верно считать их и находить длины.
Измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота. На чертеже их показывают вдоль трёх направлений рёбер, сходящихся в одной вершине: например, длина идёт вдоль переднего края, ширина — вглубь, высота — вверх. Каждая величина определяет длины четырёх параллельных рёбер.
Чтобы получить прямоугольник, соединяют четыре отрезка последовательно и замыкают контур. В каждой вершине соседние стороны образуют прямой угол. Если рассмотреть противоположные стороны, они не пересекаются и идут параллельно; расстояние между ними одинаково, поэтому их длины равны. Так свойства углов и расположения сторон объясняют, почему у прямоугольника равны именно противоположные стороны.
Прямоугольный параллелепипед можно представить как коробку с шестью прямоугольными стенками: передней, задней, верхней, нижней и двумя боковыми. У каждой грани есть четыре стороны, но соседние грани делят общие стороны — рёбра. Поэтому считать каждое ребро отдельно для каждой грани нельзя: всего таких отрезков 12. Восемь углов коробки — это вершины, а пар противоположных граней получается три.
Противоположные грани равны, потому что у них совпадают размеры сторон, заданные одними и теми же измерениями. Например, верхняя и нижняя грани имеют длину и ширину, а передняя и задняя — длину и высоту. По той же причине рёбра группируются по направлениям: четыре имеют длину, четыре — ширину, ещё четыре — высоту. Значит, рёбра внутри каждой группы равны, но в разных группах их длины могут различаться.
Длина, ширина и высота задают форму и размеры параллелепипеда. Если известны эти три числа, можно определить длину каждого ребра: оно равно одному из измерений в зависимости от направления. Например, у коробки с длиной 8 см, шириной 5 см и высотой 3 см рёбра распределяются на группы длиной 8, 5 и 3 см. Это позволяет находить размеры каждой грани без измерения её отдельно.
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон: S = ab. Такое умножение подходит, потому что прямоугольник можно мысленно разбить на единичные квадраты: их число определяется количеством рядов и числом квадратов в каждом ряду. У параллелепипеда каждая грань тоже прямоугольник, поэтому её площадь находят так же. Например, грань со сторонами 8 см и 5 см имеет площадь 40 см².
| Что рассматриваем | Прямоугольник | Прямоугольный параллелепипед |
|---|---|---|
| Число элементов | 4 вершины и 4 стороны | 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин |
| Вершины и стороны | Стороны — отрезки; вершины — точки их соединения | Грани — прямоугольники; рёбра — отрезки; вершины — точки встречи рёбер |
| Основные свойства | Все углы прямые; противоположные стороны равны и параллельны | Все грани — прямоугольники; противоположные грани равны |
| Какими величинами задаются размеры | Длина и ширина | Длина, ширина и высота |
| Площадь | S = ab | Площадь грани равна произведению её сторон; общая площадь S = 2(ab + ah + bh) |
Сначала выберите в таблице нужный объект, затем найдите строку с требуемым свойством или величиной. Для вычислений площади важно определить, какие стороны образуют прямоугольник или грань. В формуле для параллелепипеда a, b и h обозначают его длину, ширину и высоту.
Задача 1. Начертите прямоугольник ABCD со сторонами 5 см и 3 см. Укажите равные стороны и найдите его периметр.
Ответ: AB = CD = 5 см, BC = AD = 3 см; периметр равен 16 см. Сумма двух соседних сторон равна 8 см, и вторая такая пара даёт ещё 8 см.
Задача 2. Прямоугольная коробка имеет длину 8 см, ширину 5 см и высоту 3 см. Сколько у неё граней, рёбер и вершин? Укажите размеры каждой пары противоположных граней.
Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; размеры пар граней — 8 × 5 см, 8 × 3 см и 5 × 3 см.
Задача 3. Найдите общую площадь шести граней прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8 см, 5 см и 3 см.
Ответ: общая площадь шести граней равна 158 см². Удвоение суммы учитывает все шесть граней, а не только три разных вида.
Считать, что у прямоугольника равны все стороны, — ошибка: обязательно равны только противоположные. Так можно ошибиться, приняв любой прямоугольник за квадрат; у квадрата дополнительно равны все стороны. Проверьте, какие стороны стоят друг напротив друга, и не переносите свойство квадрата на все прямоугольники.
Грань, ребро и вершина — не одно и то же: грань является прямоугольником, ребро — отрезком, вершина — точкой. Путаница возникает, когда называют частью фигуры любой видимый край или угол. Проверьте себя вопросом: указываете ли вы на плоскую часть, линию её границы или точку встречи линий?
При подсчёте элементов нельзя учитывать только видимые на рисунке части. Невидимые грани и рёбра тоже принадлежат параллелепипеду, хотя могут быть показаны пунктиром или закрыты передней частью. Проверьте итог по известному числу: у фигуры 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
Если сложить площади трёх разных прямоугольных граней только один раз, получится не общая площадь поверхности. Ошибка появляется потому, что на рисунке часто сосредотачиваются на трёх видимых гранях и забывают об их противоположных парах. Проверьте, учтена ли в сумме каждая из шести граней; если вычисляли три вида, умножьте их сумму на 2.
Для работы с прямоугольниками нужно знать, что такое четырёхугольник, прямой угол и параллельные отрезки. Эти понятия позволяют распознавать фигуру и обосновывать равенство её противоположных сторон. Периметр находят сложением длин всех сторон, поэтому важно уметь выполнять такие вычисления.
Свойства прямоугольника помогают работать с координатной сеткой и чертежами: стороны можно соотнести с направлениями, а площадь — вычислить по длинам сторон. Это полезно в задачах о площадях фигур и расположении объектов. Для параллелепипеда те же знания применяются к каждой грани.
Измерения прямоугольного параллелепипеда и площади его граней понадобятся при изучении площади поверхности и объёма. Площадь поверхности складывается из площадей всех граней, а объём связан с тремя измерениями фигуры. Поэтому умение различать длину, ширину и высоту служит основой для следующих тем.
Чем прямоугольник отличается от квадрата?
У обоих четырёхугольников все углы прямые. У квадрата равны все четыре стороны, а у прямоугольника обязательно равны только противоположные стороны. Поэтому квадрат — частный случай прямоугольника.
Почему у прямоугольного параллелепипеда не все рёбра обязательно равны?
Рёбра параллелепипеда делятся на три группы: в каждой группе рёбра равны, но длины разных групп могут отличаться. Эти три длины соответствуют длине, ширине и высоте. Все рёбра равны лишь у особого случая, когда все три измерения совпадают.
Как не перепутать грань, ребро и вершину?
Грань — плоская прямоугольная часть поверхности, ребро — отрезок, где встречаются две грани, а вершина — точка, в которой сходятся рёбра. На чертеже можно мысленно указать сначала на плоскую часть, затем на её границу и угол. Так проще определить нужный элемент.
Почему противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны?
Каждая пара противоположных граней имеет одинаковые размеры: соответствующие стороны этих прямоугольников равны. Например, грани, образованные длиной и шириной, обе имеют размеры длина × ширина. Поэтому их площади и формы совпадают.
Как найти общую площадь всех граней параллелепипеда?
Нужно найти площади трёх видов граней: длина × ширина, длина × высота и ширина × высота. Каждая такая грань имеет равную противоположную, поэтому сумму трёх площадей умножают на 2. Формула: S = 2(ab + ah + bh), где a, b и h — измерения фигуры.
Параллелепипед и прямоугольник
