Арифметические действия

Определения и обозначения

Сложение — действие нахождения суммы двух или нескольких чисел. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат — суммой; запись 6 + 4 = 10 показывает, что к шести прибавили четыре. Сложение нужно, когда объединяют количества или прибавляют новое количество к имеющемуся.

Вычитание — действие нахождения разности: уменьшаемое уменьшают на вычитаемое, а результат называют разностью. В записи 13 − 5 = 8 число 13 — уменьшаемое, 5 — вычитаемое, 8 — разность. Это действие помогает узнать, сколько осталось или на сколько одно количество больше другого.

Умножение — действие нахождения произведения. Числа называют множителями, результат — произведением; например, 4 · 3 = 12 означает, что число 4 взяли три раза, то есть 4 + 4 + 4. Умножение удобно для объединения одинаковых групп и сокращает запись повторяющегося сложения.

Деление — действие нахождения частного: делимое делят на делитель. В записи 20 : 4 = 5 число 20 — делимое, 4 — делитель, 5 — частное; деление показывает, сколько приходится на одну равную часть или сколько таких частей содержится в целом. Делить на ноль нельзя: не существует числа, умножение которого на ноль дало бы ненулевое делимое.

Как это устроено

Сложение объединяет количества: если к трём предметам добавить ещё два, получится пять. Для разных предметов смысл такой же — можно, например, сложить пройденные километры за два дня. Вычитание обращает эту операцию: если известно общее количество и одна его часть, разность показывает оставшуюся часть.

Неизвестный компонент удобно находить с помощью обратного действия. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное; чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое, а чтобы найти вычитаемое — из уменьшаемого вычитают разность. Неизвестный множитель равен произведению, делённому на известный множитель; неизвестное делимое находят умножением частного на делитель, а неизвестный делитель — делением делимого на частное.

Перестановка слагаемых не меняет объединённое количество: 3 + 8 и 8 + 3 дают один итог. При умножении можно переставить множители, потому что число одинаковых групп и количество предметов в каждой группе определяют то же произведение. У вычитания и деления смысл зависит от порядка чисел: 10 − 6 не равно 6 − 10, а 12 : 4 не равно 4 : 12.

Ноль при сложении не меняет число: a + 0 = a. При умножении на ноль произведение равно нулю, а при умножении на единицу число сохраняется; при делении на единицу делимое также не меняется. Ноль можно разделить на любое ненулевое число, но деление на ноль невозможно: для ненулевого делимого не найдётся частного, которое при умножении на ноль вернёт делимое, а для нулевого делимого частное не было бы единственным.

Скобки показывают, какие действия нужно выполнить раньше остальных. Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Такой порядок — общее соглашение: благодаря ему запись выражения задаёт однозначный результат, а скобками можно явно изменить порядок вычислений.

Арифметические действия и их свойства

Используйте таблицу, чтобы вспомнить названия компонентов, подобрать обратное действие и проверить, допустимо ли вычисление. Свойства перестановки и сочетания применяют только к сложению и умножению. Значения с нулём и единицей помогают упрощать выражения.

Разбор задач

Вычислить 48 − 3 · (7 + 5) : 2

Сначала определим порядок: выражение в скобках выполняют первым, затем идут умножение и деление слева направо, а вычитание — последним. Нельзя просто считать все числа по порядку записи, иначе приоритет действий будет нарушен. После каждого шага заменим часть выражения её значением.

1. Вычисляем в скобках: 7 + 5 = 12. Получаем 48 − 3 · 12 : 2.
2. Выполняем умножение: 3 · 12 = 36. Получаем 48 − 36 : 2.
3. Делим: 36 : 2 = 18. Теперь выражение равно 48 − 18.
4. Вычитаем: 48 − 18 = 30.

Ответ: 30. Проверим ход вычислений: скобки убраны только после нахождения их значения, а умножение и деление выполнены раньше вычитания.

Найти неизвестное число: 7x + 5 = 40

Нужно оставить x в одной части равенства. Сначала устраним сложение пяти, применив обратное действие, а затем устраним умножение на семь делением. Каждый шаг выполняем одинаково с обеими частями уравнения, чтобы равенство сохранилось.

1. Вычитаем 5 из обеих частей: 7x = 40 − 5 = 35.
2. Делим обе части на 7: x = 35 : 7 = 5.
3. Проверяем подстановкой: 7 · 5 + 5 = 35 + 5 = 40.

Ответ: x = 5. Проверка подтверждает, что найденное число действительно обращает исходное равенство в верное.

Покупка в магазине

Купили 3 тетради по 48 рублей и ручку за 37 рублей, заплатили 300 рублей. Чтобы найти сдачу, сначала определим стоимость всех покупок: цену одной тетради умножим на их количество, затем прибавим цену ручки. Из уплаченной суммы вычтем общую стоимость.

1. Находим цену тетрадей: 3 · 48 = 144 рубля.
2. Складываем стоимость покупок: 144 + 37 = 181 рубль.
3. Вычитаем стоимость из суммы оплаты: 300 − 181 = 119 рублей.
4. Проверяем: 181 + 119 = 300, а сдача меньше уплаченной суммы.

Ответ: сдача составит 119 рублей. Полученное значение реалистично: покупка стоила меньше 300 рублей, поэтому сдача положительная.

Типичные ошибки

Если выполнять действия строго слева направо, можно, например, неверно посчитать выражение со скобками или умножением. Так ошибаются, когда принимают порядок записи за порядок вычислений. Перед решением отметьте скобки, умножение и деление, а затем проверьте результат повторным вычислением по правилам.

Переместительное свойство сложения и умножения нельзя переносить на вычитание и деление. Ошибка возникает потому, что все четыре действия записывают между двумя числами, но смысл у них разный: 8 − 3 ≠ 3 − 8, а 8 : 2 ≠ 2 : 8. Для проверки поменяйте числа местами и сравните результаты.

Неверно названный компонент приводит к неправильному правилу поиска неизвестного. Например, вычитаемое находят не сложением с уменьшаемым, а вычитанием разности из уменьшаемого; путаница возникает, если не читать действие как равенство. Подпишите компоненты и проверьте найденное число подстановкой в исходное выражение.

Запись результата деления на ноль или использование нуля как делителя недопустимы. Иногда ноль считают обычным числом, не проверяя, возможно ли обратное умножение; но никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое, а частное при делении нуля на ноль не определяется однозначно. Перед делением всегда проверьте, что делитель не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с арифметическими действиями нужны представления о натуральных, целых и рациональных числах, умение сравнивать их и читать числовые выражения. Эти действия становятся инструментом при решении уравнений: обратные операции помогают находить неизвестное. В текстовых задачах условие переводят в выражение, а при преобразовании выражений используют свойства сложения и умножения.

Арифметические действия лежат в основе дальнейших тем. Дроби требуют умения делить и выполнять действия с частями единицы, а степени связывают повторное умножение с короткой записью. Проценты помогают описывать доли и изменения величин, а алгебраические выражения распространяют знакомые действия на буквы и неизвестные числа.

Что запомнить

• Сложение и вычитание — взаимно обратные действия.
• Умножение и деление — взаимно обратные действия.
• От перестановки слагаемых и множителей результат не изменяется.
• Вычитание и деление не обладают переместительным свойством.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание.
• На ноль делить нельзя.
• Результат вычисления полезно проверять обратным действием.