"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Геометрические фигуры помогают описывать расположение объектов, расстояния и направления. Точка задаёт положение, прямая, луч и отрезок показывают части линии, а угол возникает из двух лучей с общей начальной точкой. У каждой фигуры есть свои границы и обозначения: по ним её узнают на чертеже и записывают математически. Эти понятия нужны для измерений, построений и изучения более сложных фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — фигура, у которой нет длины, ширины и толщины. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На чертеже точку показывают маленьким следом от карандаша, но этот след нужен лишь для изображения: сама точка размеров не имеет. Такое обозначение помогает точно указать положение объекта.
Прямая — бесконечная в обе стороны линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её обозначают одной строчной буквой или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней, например прямая AB. Стрелки на чертеже показывают, что линия продолжается дальше нарисованного участка. Это позволяет отличить прямую от ограниченной линии.
Отрезок — часть прямой между двумя точками, которые называются его концами. Его обозначают буквами концов, например отрезок AB, а длину записывают как AB. Длину можно измерить линейкой: нужно совместить её начало с одним концом и посмотреть, где находится другой. Измерение показывает расстояние между концами.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол обозначают буквой вершины, если понятно, о каком угле идёт речь, или тремя буквами, например ∠AOB: буква вершины O всегда стоит посередине. Такое правило помогает не перепутать угол с другими углами у той же вершины.
Отправной точкой для построения линий служит точка: на прямой можно выбрать один или несколько её участков. Если рассматривают всю линию, бесконечно продолжающуюся в обе стороны, получают прямую; если берут часть от одной точки только в одном направлении — луч. Когда участок ограничивают двумя концами, получается отрезок. Поэтому одна и та же проведённая линия может изображать разные фигуры: нужно учитывать, какие её части выбраны.
Прямая, луч и отрезок отличаются числом концов и направлением продолжения. У прямой концов нет, у луча есть начальная точка, а у отрезка — два конца. Прямую продолжают в обе стороны, луч — только от начала, а отрезок не продолжают: он заканчивается в обеих граничных точках. Эта разница объясняет, почему конечную длину можно измерить только у отрезка.
Через любые две различные точки можно провести только одну прямую. Чтобы провести прямую, нужно задать её положение; двух точек достаточно, чтобы определить направление и место линии. Две разные прямые не могут обе проходить через одну и ту же пару точек: если они совпали в двух точках, то это уже одна прямая. Это свойство помогает строить линии и проверять геометрические рассуждения.
Два луча с общим началом образуют угол, потому что задают две стороны, расходящиеся от одной вершины. Если вершина обозначена O, а на сторонах выбраны точки A и B, угол записывают как ∠AOB, помещая O в середину. Когда у вершины только один рассматриваемый угол, его можно обозначить ∠O. Если углов несколько, трёх букв достаточно, чтобы указать нужные стороны и не ошибиться при чтении записи.
На чертеже фигуру изображают линиями и точками, а буквами отмечают важные места: концы отрезка, начало луча или вершину угла. У прямой и луча стрелки показывают направление бесконечного продолжения, а у отрезка отмечают оба конца. Буквенная запись связывает рисунок с математическим описанием, поэтому важно ставить буквы у нужных точек. При чтении чертежа сначала смотрят на границы и стрелки, а затем — на обозначения.
| Фигура | Обозначение | Границы и продолжение | Что можно измерить | Главное свойство |
|---|---|---|---|---|
| Точка | A | Не имеет границ и продолжения | Ничего | Задаёт положение |
| Прямая | AB или a | Нет концов, продолжается в обе стороны | Длину не измеряют | Через две различные точки проходит единственная прямая |
| Луч | AB, где A — начало | Одно начало, продолжение в одну сторону | Длину не измеряют | Имеет начальную точку, но не имеет конца |
| Отрезок | AB | Два конца | Длину | Ограничен двумя точками |
| Угол | ∠AOB или ∠O | Две стороны-луча с общей вершиной | Величину угла | Образован двумя лучами с общим началом |
Сравнивайте фигуры по числу концов и по тому, в какую сторону продолжается линия: это поможет отличить прямую от луча и отрезка. Затем проверьте, какие величины можно измерить и как записано обозначение. В записи угла средняя буква показывает вершину.
Задача 1. По условному описанию чертежа нужно назвать изображённые фигуры и записать обозначения точки, прямой, луча и отрезка: на прямой отмечены A и B, луч начинается в C и проходит через D, отрезок соединяет E и F. Решение: сначала выясним, где есть концы, а где линия продолжается. 1) Точка обозначена заглавной буквой, поэтому это точка A. 2) Линия через A и B со стрелками в обе стороны — прямая AB. 3) У луча начало C, а D показывает его направление, значит, это луч CD. 4) Две границы E и F ограничивают отрезок EF. Ответ: точка A, прямая AB, луч CD, отрезок EF.
Задача 2. На одной прямой отмечены точки A, B и C; требуется записать все получившиеся отрезки и сравнить их длины по измерениям AB = 3 см, BC = 2 см и AC = 5 см. Решение: отрезок задаётся парой концов, поэтому выбираем все пары точек. 1) Пара A и B даёт отрезок AB. 2) Пара B и C даёт отрезок BC. 3) Пара A и C даёт отрезок AC. 4) Сравниваем измеренные значения: 2 см < 3 см < 5 см. Получаем BC < AB < AC; дополнительно проверяем, что AB + BC = AC, как и должно быть, если B лежит между A и C. Ответ: отрезки AB, BC, AC; самый короткий — BC, самый длинный — AC.
Задача 3. Из общей вершины O проведены лучи OA, OB и OC. Нужно записать образовавшиеся углы и указать, какие имеют общую сторону. Решение: угол задаётся парой лучей, выходящих из одной вершины, поэтому перебираем пары без повторов. 1) Лучи OA и OB образуют ∠AOB. 2) Лучи OB и OC образуют ∠BOC. 3) Лучи OA и OC образуют ∠AOC. 4) Сравниваем записи: у ∠AOB и ∠BOC общая сторона OB, у ∠AOB и ∠AOC общая сторона OA, у ∠BOC и ∠AOC общая сторона OC. Ответ: образовались ∠AOB, ∠BOC и ∠AOC; каждая пара этих углов имеет общую сторону, указанную в сравнении.
Отрезок иногда называют прямой, потому что обе фигуры на чертеже выглядят как линия. Но отрезок имеет два конца и не продолжается бесконечно, тогда как у прямой концов нет. Чтобы проверить себя, посмотрите, обозначены ли границы и стоят ли у линии стрелки в обе стороны. Если есть два конца, перед вами отрезок.
Луч принимают за отрезок, когда замечают его начало, но не учитывают продолжение. У луча только одна начальная точка, а второй конец отсутствует: линия уходит в одну сторону бесконечно. Проверьте чертёж по стрелке и буквам: первая буква обозначения луча указывает его начало. Если линия продолжается за нарисованный участок, это не отрезок.
Угол иногда обозначают двумя буквами, не указывая вершину, хотя у одной точки могут сходиться несколько углов. Тогда запись может быть непонятной: неясно, какие именно стороны выбраны. Проверка простая: если одного обозначения вершины недостаточно, используйте три буквы, поставив букву вершины на среднее место. Например, запись ∠AOB указывает и вершину O, и обе стороны.
Точку пересечения линий могут принять за отрезок или луч, хотя сама точка пересечения — лишь положение, отмеченное на чертеже. Фигуру определяет не только место, но и то, как линия ограничена или продолжается. Чтобы проверить ответ, отдельно рассмотрите отметку точки, концы и стрелки на линии. Не делайте вывод только по тому, что фигуры пересеклись.
Для изучения фигур пригодятся умение обозначать точки буквами, пользоваться линейкой и измерять длину. Эти действия помогают читать чертежи и точно описывать расположение объектов. Знания о точках, прямых, лучах и отрезках понадобятся при изучении треугольников, многоугольников и окружности. Они также используются на координатной прямой и при построениях, а понимание угла помогает решать задачи на угловые величины.
Чем луч отличается от прямой и отрезка?
Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны. Луч имеет одну начальную точку и продолжается в одну сторону, а отрезок ограничен двумя концами.
Можно ли измерить длину прямой или луча?
Длину прямой и луча измерить нельзя: они продолжаются бесконечно и не имеют конечной длины. У отрезка есть два конца, поэтому его длину можно измерить линейкой.
Почему через две точки можно провести только одну прямую?
Две различные точки однозначно задают направление и положение прямой. Если бы через них проходили две разные прямые, они совпали бы в обеих точках, а значит, это была бы одна и та же прямая.
Как правильно обозначить угол?
Угол можно обозначить одной буквой, если у его вершины не возникает путаницы. Также используют три заглавные буквы: первая и третья обозначают точки на сторонах, а средняя — вершину, например ∠AOB.
Могут ли два разных угла иметь одну и ту же вершину?
Да. Из одной точки могут выходить несколько лучей, и разные пары лучей образуют разные углы с общей вершиной. Чтобы их не перепутать, обозначают каждый угол тремя буквами или отдельно уточняют его стороны.
Геометрические фигуры
