"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Повторение помогает связать в одну систему вычисления, работу с дробями и процентами, буквенными выражениями и уравнениями. Числовые выражения считают по порядку действий, буквенные — после подстановки значений переменных. Уравнение решают, находя неизвестное, а затем проверяют подстановкой. Эти навыки нужны не только для примеров, но и для решения практических задач: о покупках, скидках, скорости, стоимости и количестве.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел и знаков действий, например 18 − 2 · 7. Чтобы найти его значение, выполняют действия по установленному порядку, а не просто слева направо. Такое выражение помогает кратко записать вычисление.
Буквенное выражение содержит числа, знаки действий и переменные — буквы, обозначающие неизвестные или изменяющиеся числа. Чтобы найти его значение, вместо букв подставляют заданные числа и вычисляют результат. Это нужно, когда одна формула используется для разных значений величин.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным. Найденное значение называют корнем уравнения и проверяют подстановкой.
Процент — одна сотая часть величины: 1% = 1/100 = 0,01. Процент записывают обыкновенной дробью, десятичной дробью или со знаком %: 15% = 15/100 = 0,15. Это позволяет выбирать удобный способ вычисления.
Порядок действий нужен потому, что одна и та же запись без правил могла бы иметь разные значения. Сначала выполняют действия в скобках: скобки показывают, какую часть выражения нужно рассматривать вместе. Возведение в степень выполняют до умножения и деления, а сложение и вычитание оставляют последними, потому что они объединяют уже найденные слагаемые.
Обыкновенную дробь можно заменить десятичной, если деление числителя на знаменатель выполняется удобно, а десятичную дробь — процентом, умножив её на 100. Например, 0,25 = 25% = 1/4. Такой перевод помогает выбрать способ вычисления: дроби удобны для точных преобразований, десятичные записи — для умножения, а проценты — для описания долей величины.
Значение буквенного выражения зависит от того, какие числа подставлены вместо переменных. Поэтому одна и та же запись 3a + 2 при a = 4 и при a = 10 даёт разные результаты. Подстановка также служит проверкой: если после преобразований выражения результаты не совпали при допустимых значениях переменных, в преобразовании допущена ошибка.
Равносильные преобразования уравнения не меняют множество его корней. Например, прибавление одного и того же числа к обеим частям или деление обеих частей на ненулевое число сохраняет равенство для тех же значений неизвестного. Проверка подстановкой в исходное уравнение обнаруживает ошибки, возникшие при переносе, раскрытии скобок или делении.
Условие практической задачи переводят на математический язык: неизвестную величину обозначают буквой, известные связи записывают выражением или уравнением. После решения нужно указать единицу измерения и сравнить ответ с условием. Если цена, расстояние или количество получились отрицательными либо явно слишком большими, стоит проверить модель и вычисления.
В таблице сначала найдите нужный вид задания, затем выполните действия по второй колонке. Последняя колонка подсказывает, каким способом быстро обнаружить ошибку. Проверка может быть выполнена обратным действием, повторным вычислением или подстановкой.
| Что выполняем | Как действовать | Как проверить результат |
|---|---|---|
| Вычисление числового выражения | Соблюдать порядок действий, аккуратно записывать промежуточные результаты. | Повторить вычисления или оценить примерный результат. |
| Действия с обыкновенными дробями | Для сложения и вычитания привести дроби к общему знаменателю; при умножении перемножить числители и знаменатели. | Сократить дробь и проверить обратным действием. |
| Действия с десятичными дробями | При сложении выровнять запятые, при умножении временно убрать их и вернуть нужное число знаков. | Оценить положение запятой и выполнить обратное действие. |
| Нахождение процента от величины | Перевести процент в дробь или десятичную запись и умножить на величину. | Сравнить ответ с исходным числом: 10% меньше величины, 100% равны ей. |
| Вычисление буквенного выражения | Подставить значения переменных, соблюсти порядок действий и упростить результат. | Подставить числа ещё раз или проверить преобразование на другом наборе значений. |
| Решение уравнения | Выполнить равносильные преобразования и изолировать неизвестное. | Подставить найденный корень в исходное уравнение. |
| Решение текстовой задачи | Выделить известные и неизвестные величины, составить модель, решить её и записать ответ с единицей. | Проверить связь с условием и правдоподобие результата. |
Рассмотрим выражение 18 − 2 · (3 + 4). Скобки задают первое действие, поэтому нельзя сразу вычитать или умножать числа, стоящие рядом с ними. После вычисления внутри скобок продолжаем действовать по правилам.
Ответ: 4.
Найдём 15% от 240. Процент означает сотую долю, поэтому сначала заменим его десятичной дробью. Затем умножим исходную величину на полученную долю.
Ответ: 36.
За 3 одинаковые тетради заплатили 270 рублей, поэтому сначала найдём цену одной тетради. Обозначим её буквой x, а стоимость пяти тетрадей выразим как 5x. Уравнение должно связать стоимость трёх тетрадей с известными 270 рублями.
Ответ: 450 рублей.
Ошибка: выполнять действия слева направо, не учитывая приоритет. Так допускают неверный результат, потому что ориентируются только на расположение знаков. Проверьте себя: отметьте скобки, затем умножение и деление, и лишь потом сложение и вычитание.
Ошибка: при сложении дробей складывать знаменатели. Знаменатели показывают размер долей и не складываются, если доли приводят к общим частям. Проверьте себя на примере ½ + ½ = 1: сложение знаменателей дало бы неправильную дробь 2/4.
Ошибка: считать, что увеличение на 20% и уменьшение на 20% взаимно уничтожаются. Второе действие выполняется уже от изменённой величины, поэтому проценты берутся от разных чисел. Проверьте результат последовательным умножением на 1,2 и на 0,8.
Ошибка: переносить слагаемое через знак равенства и забывать изменить знак. На самом деле выполняют одинаковое действие с обеими частями уравнения, а смена знака — краткая запись вычитания. Проверьте себя подстановкой корня в исходное уравнение.
Для повторения нужны таблица умножения и правила действий с натуральными числами и дробями. Если отрицательные числа уже изучались, необходимо уверенно выполнять действия и с ними. Эти навыки служат основой дальнейших вычислений.
Выражения и уравнения встречаются при изучении пропорций, функций и алгебраических преобразований. Чем точнее соблюдается порядок действий, тем легче преобразовывать формулы. Проверка подстановкой помогает контролировать такие преобразования.
Проценты и уравнения нужны в задачах о покупках, скидках, скорости и совместной работе. Математическая модель позволяет заменить длинное условие короткой записью. После вычислений ответ переводят обратно в смысл задачи.
Как определить порядок действий в длинном выражении?
Сначала выполняют действия в скобках и возведение в степень. Затем по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание.
Почему при сложении дробей нельзя складывать знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, поэтому при сложении доли должны быть выражены в одинаковых частях. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а складывают только числители.
Как найти процент от числа?
Процент переводят в дробь: p% = p/100 или p% = 0,01p. Затем эту дробь умножают на исходное число: например, 15% от 240 — это 0,15 · 240.
Как проверить, правильно ли решено уравнение?
Найденное значение подставляют в исходное уравнение вместо неизвестного. Если левая и правая части дают одинаковый результат, решение верно.
Как понять, что в текстовой задаче удобнее составить уравнение?
Уравнение удобно, когда неизвестна величина, а условие связывает её с известными данными. Нужно обозначить неизвестное буквой, выразить через неё остальные величины и записать равенство по условию.
Повторим!
